les suites exo ***

[inviteda3529a9]

pouvez vous effectuer le resonement par récurrence pour la question 2 svp car je ne trouve pas là ?

Merci d'avance
a très bientôt.
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[pi-r2]

faire l'exercice à ta place ne serait pas t'aider. La seule difficulté par rapport au 1 étant de déterminer la propriété à démontrer qui est une question de connaissance du cours: comment montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante) ?

[inviteda3529a9]

Il me semble que:
P(n): U(n) "sup à" U(n+1)
J'ai fais la partie hérédité mais je coince à ce niveau:
Soit k appartenant à IN
Soit P(k) vraie ... c-à-d U(k) "sup à" U(k+1)
Montrons que P(k+1) vraie ... c-à-d U(k+1) "sup à" U(k+2)
On sait que par définition de la suite, U(n+1)=f(U(n))
donc U(k) "sup à" U(k+1)
donc U(k) "sup à" f(U(k))

et là, je coince.
Comment obtenir U(k+1) "sup à" U(k+2) à la fin du développement des équivalances ?

Merci d'avance et à très bientôt.

[inviteda3529a9]

si l'on suppose U(1) "sup à" U(0)
Alors U(n) est croissante.
Est ce bon ?

Quel est le théorème svp ???

[pi-r2]

donc U(k) "sup à" U(k+1)
donc U(k) "sup à" f(U(k))

F croissante signifie:
si X>Y alors F(X)>F(Y)
et pas x>F(Y).

[inviteda3529a9]

oui oui mais je ne peux pas écrire
On sait que par définition de la suite, U(n+1)=f(U(n))
donc U(k) "sup à" U(k+1)
donc f(U(k-1)) "sup à" f(U(k))

et pui, même si cela est valable, comment obtenir U(k+1) "sup à" U(k+2)
Avec (k+1) "sup à" (k+2)
pouvez vous me dire si tous ce que j'ais fais jusque là est juste ? :

Il me semble que:
P(n): U(n) "sup à" U(n+1)
J'ai fais la partie hérédité mais je coince à ce niveau:
Soit k appartenant à IN
Soit P(k) vraie ... c-à-d U(k) "sup à" U(k+1)
Montrons que P(k+1) vraie ... c-à-d U(k+1) "sup à" U(k+2)
On sait que par définition de la suite, U(n+1)=f(U(n))
donc U(k) "sup à" U(k+1)
donc U(k) "sup à" f(U(k))

Pouvez vous m'aider svp ?

Et le théorème, avez vous une idée ?

[pi-r2]

oui oui mais je ne peux pas écrire
On sait que par définition de la suite, U(n+1)=f(U(n))
donc U(k) "sup à" U(k+1)
donc f(U(k-1)) "sup à" f(U(k))

là tu le fais à l'envers ! Tu remplaces U(k) par son expression dans ton inégalité. Mais ça marche aussi, tu le démontres au rang n-1 c'est tout
si X>Y alors f(X)>f(Y).
Tu remplaces x par U(k) et y par U(k+1) et ...

[inviteda3529a9]

comment ça ?
Pouvez vous m'inscrire l'hypothèse de récurrence svp ?

[pi-r2]

tu l'as écrite toi même et tu as assez d'éléments pour conclure. T'aider plus t'empêcherait de comprendre par toi même.

[inviteda3529a9]

oui mais moi je trouve au final f(U(k-1)) "sup à" f(U(k)) ???
Or je veux U(k+1) sup ou égal à U(k+2)
soit f(U(k)) sup ou égal à f(U(k+1)) ?

Comment "augmenter" d'un rang ???

[pi-r2]

tu trouves f(U(k-1) > f(U(k)) parce qu'à partir de ton hypothèse de récurrence U(k) > U(k+1) tu remplaces les membres par leur expression à partir de f.
Alors qu'il faut utiliser le fait que f est croissante et l'appliquer à U(k) > U(k+1).(voir au dessus la définition de f croissante avec X et Y)

[inviteda3529a9]

On sait que U(k) sup ou égal à U(k+1)
Or k inf ou égal à à k+1

Si f croissante,
C-à-d si X>Y alors f(X)>f(Y)

Donc U(n) est décroissante

MAIS ce n'est pas un raisonement par récurrence !!!
Je ne vois vraiment pas .
pouvez vous m'aider svp.

Je le referais pour U(1) sup ou égal à U(0)

[inviteda3529a9]

non, c'est bon j'ai comprit:

On part de l'hpothese de récurrence:

U(k) "sup ou égal à" U(k+1)
Donc f(U(k)) "sup ou égal à" f(U(k+1)) =) Déf de f croissante
Donc U(k+1) "sup ou égal à" U(k+2) =) par déf de la suite car U(n+1)= f(U(n))

et c'est bon !!! youpiii

Et le théorème, pourriez vous m'aider svp on en a encore vu aucun

[pi-r2]

le théorème c'est juste ce que tu viens de démontrer dans l'exercie et je t'ai résumé plus haut les hypothèses et la conclusion.

[inviteda3529a9]

quel contre exemple me proposez vous ?

[pi-r2]

Pour le théorème je ne sais pas si il a un nom...
qu'est-ce que ça veut dire f décroissante ?
qu'est-ce qui se passe si f est décroissante, que U0<U1 ?

[inviteda3529a9]

les questions que vous me posez sont simple mais ...

1/
X "sup ou égal à" Y
f(X) "inf ou égal à" f(Y)

2/
qu'est-ce qui se passe si f est décroissante, que U0<U1 ?
U(n) décroit mais comment le démontrer ?
quelles sont les hypothèses de l'exemple que vous voulez utiliser ?

Pour tous x de I, f(x) appartient à I
f est décroissante sur I
Pour tout n de IN, U(n+1)=f(U(n)) avec U(0) appertient à I
U0<U1

quoi d'autres, qu'ai je oublié ?

[pi-r2]

les questions que vous me posez sont simple mais ...

1/
X "sup ou égal à" Y
f(X) "inf ou égal à" f(Y)

ok tu sais.

2/
qu'est-ce qui se passe si f est décroissante, que U0<U1 ?
U(n) décroit mais comment le démontrer ?

Affirmation gratuite. essaie pour U2, U3 ...

[inviteda3529a9]

faut il faire un résonement par récurrence ?

On doit alors se servire des ses hypothèses ? :
Pour tous x de I, f(x) appartient à I
f est décroissante sur I
Pour tout n de IN, U(n+1)=f(U(n)) avec U(0) appertient à I
U0<U1

En ai je oublié (des hypothèses) ?

Merci d'avance.
J'attends votre réponse ^^

[pi-r2]

il faut d'abord vérifier si ce que tu cherches à démontrer est juste en commençant par u0,u1,u2,u3...

[inviteda3529a9]

je ne comprends pas ...
Comment chercher U1 U2 U3 ... Alors qu'on explicite pas Un ???

On sait juste :
Pour tous x de I, f(x) appartient à I
f est décroissante sur I
Pour tout n de IN, U(n+1)=f(U(n)) avec U(0) appertient à I
U0<U1

[pi-r2]

je ne t'ai pas dit de les chercher mais de voir ce que ça donne.
U0<U1
F décroissante, donc U1 ? U2
donc U2 ? U3

etc.
tu devrais voir quelque chose.

[inviteda3529a9]

Quel intéret ?

U0<U1
F décroissante,
donc U0<U1
donc U1<U2
donc U2<U3

...
...

[pi-r2]

et non, ça c'est si f est croissante...
c'est ça l'intérêt...

[inviteda3529a9]

je ne comprends pas votre exemple ...
pouvez vous m'éclairer ?
J'ai fais un résonement par récurrence avec p(k+1) faux !!!
est ce bon ?

je ne comprends pas comment trouver un contre exemple

[pi-r2]

U0<U1
F décroissante,
donc U0<U1
donc U1<U2
donc U2<U3
...

ça c'est faux. Quand ce sera juste ce sera ton contre exemple.

[inviteda3529a9]

J'ai fais un résonement par récurrence avec p(k+1) faux !!!
est ce bon ?

U0<U1
F décroissante, donc U1 "sup ou égal à" U2
donc U2 "sup ou égal à" U3

et alors ???

[pi-r2]

U0<U1
F décroissante, donc U1 "sup ou égal à" U2

Oui

donc U2 "sup ou égal à" U3

NON ! f est décroissante

[inviteda3529a9]

J'ai fais un résonement par récurrence avec p(k+1) faux !!!
est ce bon, possible ???

U0<U1
F décroissante,
donc U1 "sup ou égal à" U2
donc U2 "inf ou égal à" U3
donc U3 "sup ou égal à" U4
donc U4 "inf ou égal à" U5
... etc
Je compreds la mécanique mais je ne comprends pas cette alternance
Pouvez vous me l'expliquer svp maintenant que j'ai trouver le contre exemple ???

[pi-r2]

et bien une fonction croissante respecte l'ordre de la relation > et une fonction décroissante l'inverse.
C'est pour cela qu'on peut multiplier les deux cotés d'une inégalité par un nombre positif et que ça ne change pas le sens.
Dans le cas présent si la fonction f est décroissante si on suppose Un > Un-1 on trouve Un+1<Un donc Un n'est ni croissante, ni décroissante. Elle oscille