les suites exo ***

[inviteda3529a9]

Soit f une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout x de I, f(x) appartient à I.
(On dit que f est stable par I)
Soit la suite U(n) définie pour tout n de N, U(n+1)=F(U(n)) avec U(0) appartenant à I.

1/ Montrer que pour tout n de N, U(n) appartient à I.

2/ On suppose dans cette question que f est croissante sur I est que U(0)supérieur ou égal à U(1)
Démontrer que U(n) est décroissante
Que se passe t-il pour la suite si l'on suppose U(1) suppérieur ou égal à U(0) ?
Justifier rapidement

3/ Quel théorème peut on énoncer ?

4/ Ce théorème est il encore vrai si f est décroissante sur I ?
Justifier la réponse par une démonstration si vous pensez que c'est vrai et par n contre-exemple si vous pensez que c'est faux.

5/ On suppose dans cette question que f est décroissante sur I.
Considérons les suites V(n) et W(n) définies par: pour tout n de N, V(n)=U(2n) et W(n)=U(2n+1)
Remarque: "V(n) est la suite composée des termes d'indices pair de U(n) et W(n) est la suite composée des termes d'indices impair de U(n)
Supposons que U(0) suppérieur ou égal à U(2). Déterminez alors le sens de variation de V(n) et W(n).

Merci beaucoup d'avance pour votre aide et à très bientôt.
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[invite3cc91bf8]

Rebonsoir,
Tu es en quelle classe ? (pour mieux cibler tes connaissances)

[invite3cc91bf8]

Je te conseille ce site : http://homeomath.imingo.net/suiterec.htm, c'est très bien expliqué.

[inviteda3529a9]

je suis en terminale S mais on très rapidement vu les suite l'année dernière
Pourriez vous tout de même m'aider ?
En apportant des aides, conseils ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3cc91bf8]

Vous commencez par les suites ? Pas par la continuité des fonctions ?

[inviteda3529a9]

oui, on a commencé par les suites ^^

[inviteda3529a9]

j'attends votre aide pour la suite

[invite3cc91bf8]

Tu es sur que ton prof ne t'a pas donné plus d'instruction que ça ? C'est envoyer les élèves au casse-pipe !!!

[inviteda3529a9]

non, je suis sure
Une question nous delande d'énoncer un théorème mais on en a pas encore vu !!!
A vrai dire, on a eu juste quelques de maths dans la semaine (+grèves) donc ... on est pas allé bien loin!
J'attends votre réponse .......

[invitedb5bdc8a]

Le 1/ et le 2/ se démontrent par récurrence. Poste nous ta démonstration et on te guidera pour trouver le théorème à énoncer.

[inviteda3529a9]

quelle propriété dois je indiquer pour résoudre la question 1 et 2 ???
P(n): ???
Aidez moi svp

[invitedb5bdc8a]

il faut lire un énoncé.
1/ Montrer que pour tout n de N, U(n) appartient à I

Ne vois tu pas une propriété P(n) dans cet énoncé ???

[inviteda3529a9]

est ce P(n): U(n) "appartient à" I ???
Pourriez vous m'aider pour le théorème ???
De quoi s'agit il ?

[invitedb5bdc8a]

commence déjà par faire les questions 1 et 2 ça te donnera peut être une idée du théorème à énoncer (et que tu viendras de démontrer en passant)

[inviteda3529a9]

Mai la priopriété:
est ce P(n): U(n) "appartient à" I ???

[invitedb5bdc8a]

Mai la priopriété:
est ce P(n): U(n) "appartient à" I ???

Qu'est-ce que ça pourrait être d'autre, puisque c'est précisément ça qu'on te demande de démontrer ? Il ne faut pas chercher à compliquer inutilement.

[inviteda3529a9]

oui mais au niveau de l'étape Heredité, comment effectuer des équivalances avec le signe "appertenir à"
En tout cas, merci beaucoup de répondre aussi vite ^^

[invitedb5bdc8a]

et bien comme avec n'importe quel autre signe.
Si U(n) appartient à I que peux-tu dire du U(n+1) d'après les propriétés de f ?

[inviteda3529a9]

Soit P(n): U(n) "appartient à" I
Initialisation
Par hypothèse, U(0) "appartient à" I Donc P(0) est vrai.

Herédité
Soit K "appartient à" IN .
Supposons que U(K) est vrai, càd U(K) "appartient à" I
Montrons que celà implique P(K+1) vraie, càd U(K+1) "appartient à" I
On sait que:
+ U(K) "appartient à" I ( par hypothèse de récurrence)
+ Pour tout x, f(x) "appartient à" I
+ Pour tout n, U(n+1) = f(U(n))

Comment faire la suite ???
Pouvez vous m'aider svp ? On y a pas passé encore beaucoup de temps en classe.

[invitedb5bdc8a]

je ne sais pas comment on vous a appris à faire une démonstration par récurrence mais il ne me parait pas utile d'introduire un K.

Soit P(n): U(n) appartient à I
Initialisation
Par hypothèse, U(0) appartient à I Donc P(0) est vrai.

Herédité
Supposons que P(n) est vrai, càd U(n) appartient à I
Montrons que celà implique P(n+1) vraie, càd U(n+1) appartient à I
On sait que:
+ U(n) appartient à I ( par hypothèse de récurrence)
+ Pour tout n, U(n+1) = f(U(n))
+ Pour tout x appartenant à I , f(x) "appartient à" I


Je n'ai presque rien changé à ta rédaction.
vois tu comment finir ?

[inviteda3529a9]

On sait que:
U(n) appartient à I
or U(n+1)=f(U(n))
donc f(U(n)) appartient à I
car Pour tout x appartenant à I , f(x) "appartient à" I
Donc P(n+1) est vraie
Ainsi, P(n) vraie implique P(n+1) vraie
La propriété a été initialisé au rang 0 et est héréditaire à partir du rang 0
Donc pour tout n de IN, P(n) est vraie

Je ne suis pas du tout convaincu de ma démonstration.
J'aurais besoinde votre aide.
Corrigez si vous le souhaitez ^^

[invitedb5bdc8a]

On sait que:
U(n) appartient à I
or U(n+1)=f(U(n))
donc f(U(n)) appartient à I
car Pour tout x appartenant à I , f(x) "appartient à" I
or U(n+1)=f(U(n))
Donc U(n+1) appartient à I
Donc P(n+1) est vraie
Ainsi, P(n) vraie implique P(n+1) vraie
La propriété a été initialisé au rang 0 et est héréditaire à partir du rang 0
Donc pour tout n de IN, P(n) est vraie

Je ne suis pas du tout convaincu de ma démonstration.
J'aurais besoinde votre aide.
Corrigez si vous le souhaitez ^^

il y a juste un problème d'ordre du raisonnement. En rouge supprimé, en vert ajouté.

[inviteda3529a9]

donc ma démonstration est juste avec votre correction
en tout cas, merci beaucoup.
J'aurais besoin de vous pour la suite ^^

[invitedb5bdc8a]

donc ma démonstration est juste avec votre correction

tu comprends la nuance apportée parle changement de l'ordre des phrases ou pour toi c'est pareil ?

[inviteda3529a9]

non je comprends ^^
donnez moi des conseils pour la suite si vous le voulez bien^^
en tout cas merci pour tout déjà

[invitedb5bdc8a]

pour le 2) récurrence de la même manière avec une autre propriété

[inviteda3529a9]

2/ est ce que la propriété est P(n): U(n) "supérieur ou égal à" U(n+1)

Comment résoudre la question:
que se passe t-il pour la suite si l'on suppose U(1) "supérieur ou égal à" U(0) ??? Justifier rapidement ??? ( sans la démo par récurrence ou avec ???"

Quel est le théorème alors ?

[invitedb5bdc8a]

Oui, en général on préfère exprimer la décroissance par U(n+1) est inférieur à U(n)

Justifier rapidement c'est sans refaire toute la démonstration mais en utilisant la phrase magique: comme précédemment, on montrerais par récurrence que...

Le théorème est ce qui vient d'être démontré (le sens de variation de la suite définie par... est donnée par l'ordre de ses deux premiers termes), non ?

[inviteda3529a9]

excusez moi mais je n'ai pas comprit le théorème ?
Pourriez vous me le donner et l'expliquer svp

cette question pourra peut etre vous aider (elle suit celle du théorème):
4/ Ce théorème est il encore vrai si f est décroissante sur I ?
Justifier la réponse par une démonstration si vous pensez que c'est vrai et par n contre-exemple si vous pensez que c'est faux.

comment démontrer que U(n) est décroissante alors que par hypothèse, f est croissante sur I
donc comment démontrer que U(n) sup ou égal à U(n+1) en sachant que f(x) inférieur ou égal à f(x+1)

question: si l'on pose U(1) sup o égal à U(0), la suite U(n) est elle croissante, est ce la réponse ?

[invitedb5bdc8a]

pour établir le théorème il faut reprendre ce que tu as démontré sous la forme:
hypothèses:
conclusion:
les hypothèses sont:
F est une fonction croissante définie sur un intervalle I, stable par I
U(n) définie pour tout n de N, U(n+1)=F(U(n))
U(0) appartenant à I
conclusion:
U(n) est décroissante si et seulement si U(0)>U(1)
U(n) est croissante si et seulement si U(0)<U(1)