Récurrence ! (:( )

[invite1394ea64]

Bonjour.
Voilà, j'ai un DM sur la récurrence qui me pose un problème.

Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel :
n^3-n est multiple de 3.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant :

On suppose que pour un entier K on a "k^3-k multiple de 3"
montrons alors que (k+1)^3-(k+1) l'est aussi
Donc on a :
(k+1)^3-(k+1)=(k+1)(k+1)²-1(k+1)
=(k+1)[(k+1)²-1]
=(k+1)(k²+2k)
Arrivé là je ne sais si je dois continuer à développer ou si je suis sur une fausse piste.
J'en ai donc entamé une autre :
(k+1)^3-(k+1)=k*k^3-k*k
=k*(4-3)k^3-(4-3)k*k
=k*4k^3-3k^3-4k+3k*k
=k*4k^3-3(k^3-k)-4k*k
3(k^3-k) étant un multiple de 3, vu l'hypothèse de récurrence, donc de la forme 3p
=k*4k^3-3p-4k*k
=4(k^3-k)*k-3p*k
Or k^3-k est multiple de trois, donc 4(k^3-k) aussi, si on ajoute -3p*k multiple de 3 ainsi que k, ce tout reste multiple de 3.

Aidez-moi s'il vous plait.
Merci d'avance !
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[pi-r2]

(k+1)^3-(k+1)=(k+1)(k²+2k)

=k(k+1)(k+2)
en fait tu as trouvé une démonstration directe, sans récurrence, regardes avec k:
k^3-k=k(k²-1)=k(k-1)(k+1).
Or k-1, k et k+1 sont trois entiers consécutifs donc l'un d'entre eux est divisible par 3 !

(k+1)^3-(k+1)=k*k^3-k*k

???
par exemple avec k=1: (1+1)^3-(1+1)=1*1^3-1*1
donc 8-2=1-1 ?????

[invite1394ea64]

[QUOTE=pi-r2;3181155]=k(k+1)(k+2)
en fait tu as trouvé une démonstration directe, sans récurrence, regardes avec k:
k^3-k=k(k²-1)=k(k-1)(k+1).
Or k-1, k et k+1 sont trois entiers consécutifs donc l'un d'entre eux est divisible par 3 !


Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'un d'entre eux est divisible par 3.



je pensais que ma 2eme proposition était la bonne car je me suis aidé des modèles du cour. Dois-je donc continuer sur la lancée du 1er ?

[pi-r2]

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'un d'entre eux est divisible par 3.

parce qu'ils sont 3 et consécutifs. Mais je pense qu'en effet tu dois prendre la seconde méthode, mais sans erreur de calcul:
(k+1)^3= ?

[A voir en vidéo sur Futura]