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Récurrence ! (:( )




  1. #1
    c3lia

    Récurrence ! (:( )

    Bonjour.
    Voilà, j'ai un DM sur la récurrence qui me pose un problème.

    Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel :
    n^3-n est multiple de 3.

    Voici ce que j'ai fait pour l'instant :

    On suppose que pour un entier K on a "k^3-k multiple de 3"
    montrons alors que (k+1)^3-(k+1) l'est aussi
    Donc on a :
    (k+1)^3-(k+1)=(k+1)(k+1)²-1(k+1)
    =(k+1)[(k+1)²-1]
    =(k+1)(k²+2k)
    Arrivé là je ne sais si je dois continuer à développer ou si je suis sur une fausse piste.
    J'en ai donc entamé une autre :
    (k+1)^3-(k+1)=k*k^3-k*k
    =k*(4-3)k^3-(4-3)k*k
    =k*4k^3-3k^3-4k+3k*k
    =k*4k^3-3(k^3-k)-4k*k
    3(k^3-k) étant un multiple de 3, vu l'hypothèse de récurrence, donc de la forme 3p
    =k*4k^3-3p-4k*k
    =4(k^3-k)*k-3p*k
    Or k^3-k est multiple de trois, donc 4(k^3-k) aussi, si on ajoute -3p*k multiple de 3 ainsi que k, ce tout reste multiple de 3.

    Aidez-moi s'il vous plait.
    Merci d'avance !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    pi-r2

    Re : Récurrence ! (:( )

    Citation Envoyé par c3lia Voir le message
    (k+1)^3-(k+1)=(k+1)(k²+2k)
    =k(k+1)(k+2)
    en fait tu as trouvé une démonstration directe, sans récurrence, regardes avec k:
    k^3-k=k(k²-1)=k(k-1)(k+1).
    Or k-1, k et k+1 sont trois entiers consécutifs donc l'un d'entre eux est divisible par 3 !


    Citation Envoyé par c3lia Voir le message
    (k+1)^3-(k+1)=k*k^3-k*k
    ???
    par exemple avec k=1: (1+1)^3-(1+1)=1*1^3-1*1
    donc 8-2=1-1 ?????
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  4. #3
    c3lia

    Re : Récurrence ! (:( )

    [QUOTE=pi-r2;3181155]=k(k+1)(k+2)
    en fait tu as trouvé une démonstration directe, sans récurrence, regardes avec k:
    k^3-k=k(k²-1)=k(k-1)(k+1).
    Or k-1, k et k+1 sont trois entiers consécutifs donc l'un d'entre eux est divisible par 3 !


    Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'un d'entre eux est divisible par 3.



    je pensais que ma 2eme proposition était la bonne car je me suis aidé des modèles du cour. Dois-je donc continuer sur la lancée du 1er ?


  5. #4
    pi-r2

    Re : Récurrence ! (:( )

    Citation Envoyé par c3lia Voir le message
    Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'un d'entre eux est divisible par 3.
    parce qu'ils sont 3 et consécutifs. Mais je pense qu'en effet tu dois prendre la seconde méthode, mais sans erreur de calcul:
    (k+1)^3= ?
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

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