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Polynôme de degré 4



  1. #1
    cilue

    Question Polynôme de degré 4


    ------

    Bonjour, dans un exercice, j'ai l'aire d'un triangle (après beaucoup de calculs dont je suis sûre) définie par la fonction f(x) = (1+2x2+x4)/4x
    Je dois trouver pour quelle valeur de x l'aire est minimale. J'ai essayé de dériver cette fonction pour étudier ses variations et trouver le minimum, mais j'arrive à un polynôme du 4eme degré qui est (3x4-2x2+4x-1)/4x2 et je ne sais pas comment le résoudre ... ? Merci beaucoup d'avance à tous !

    -----

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  3. #2
    Jon83

    Re : Polynôme de degré 4

    Bonjour!
    Vérifie ton calcul de dérivée!!!

  4. #3
    cilue

    Smile Re : Polynôme de degré 4

    Ah, voilà je l'ai refait, merci Mais j'arrive encore à un polynôme de degré 4 !
    Je trouve : f'(x) = (3x4-2x2-2)/(4x2)

    Déjà, on est sûr que 4x2 est positif donc pour le dénominateur ça va, mais comment savoir quand s'annule 3x4-2x2-2 ?? (ah, j'avais oublié un détail, x est forcément positif, puisque c'est une aire -> mais qu'est-ce que ça apporte comme aide?)

  5. #4
    Jon83

    Re : Polynôme de degré 4

    Désolé, mais il y a encore une erreur dans le calcul de la dérivée....

  6. #5
    cilue

    Question Re : Polynôme de degré 4

    Ah , ok là normalement c'est bon, en fait j'avais -8x2 au lieu de +8x2
    Donc, j'arrive à f'(x) = (3x4+2x2-2)/(4x2)
    C'est ça ???
    Mais après je fais quoi ? J'ai essayé de factoriser par x, ou par x2 mais j'arrive avec 2/x ou 2/x2, donc c'est pas possible pour résoudre le polynôme après ... ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    cilue

    Re : Polynôme de degré 4

    Et au fait, merci beaucoup !!

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  10. #7
    Jon83

    Re : Polynôme de degré 4

    Citation Envoyé par cilue Voir le message
    Ah , ok là normalement c'est bon, en fait j'avais -8x2 au lieu de +8x2
    Donc, j'arrive à f'(x) = (3x4+2x2-2)/(4x2)
    C'est ça ???
    Mais après je fais quoi ? J'ai essayé de factoriser par x, ou par x2 mais j'arrive avec 2/x ou 2/x2, donc c'est pas possible pour résoudre le polynôme après ... ?
    Décidément, tu as des problèmes avec les calculs algébriques!!!!
    Le résultat exact est f'(x)=(3x^4+2x²-1)/(4x²).
    Si x>0, le dénominateur est toujours positif.
    Pour étudier le numérateur de degré 4, il faut essayer de factoriser, et à priori c'est pas évident....
    L'astuce consiste en un changement de variable: tu vas poser X=x².
    Le numérateur devient 3X²+2X-1 qui est un polynôme de degré 2 dont tu sais calculer les racines: tu calcule delta=b²-4ac (tu le trouveras positif et égal à 1). De là tu chercheras le racines X1 et X2 (tu dois trouver -1 et 1/3). Le polynôme pourra alors s'écrire sous la forme
    (X-X1)(X-X2).
    En remplaçant X par sa valeur x² le numérateur sera au final égal à
    (3x²-1)(1+x²)
    La suite devient facile, je te laisse terminer.....
    Bonne soirée!!!

  11. #8
    cilue

    Re : Polynôme de degré 4

    Merci beaucoup !! E, fait, je suis trop bête j'avais simplement mis que 4/4 = 2 !!
    Merci merci merci mille fois !!!

  12. #9
    cilue

    Re : Polynôme de degré 4

    Jon83, le monde manque de gens comme vous !! Si vous saviez comment vous me sauvez la vie ! J'ai passé mon après-midi à essayer de factoriser la dérivée, ou de résoudre le polynôme, il me manquait simplement l'idée de remplacer x^2 par X ! Merci beaucoup
    (en fait normalement j'aime pas qu'on m'aide, parce que c'est pas moi qui trouve toute seule la réponse, mais là ça me prenait vraiment la tête !)

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