BonsoirEnvoyé par phoenixgg
Je ne comprends pas votre arbre.
Si l'on appelle S l'événement la vache est stérile et nonS la vache a des descendants, le mien est dichotomique avec à chaque génération une branche p(S)=1/4 et p(nonS)=3/4.
Avec l'hypothése d'indépendance à chaque génération, au bout de n générations pn(nonS)= (3/4)n donc
pn(S) = 1 - (3/4)n
Quand n tend vers l'infini, pn(S) tend vers 1.
La race s'éteint inéluctablement.
A+
J'oubliaisour une population de V0 vaches au départ, il y a Vn = V0 * (3/4)^n vaches au bout de n années qui est une suite géométrique décroissante srictement.
En pratique, la race s'éteindra pratiquement quand Vn>1 n dépend de V0
Bye
Non, c'est un raccourci et ceci ne reflète pas la réalité. Si la première vache donne naissance à 2 veaux, la probabilité que ces deux veaux soient stériles est de (1/4)^2, et donc la probabilité que la lignée s'éteigne à la troisième génération s'il y a deux veaux à la seconde génération est de (1/4)^3.
De même si la première vache fait 3 veaux, la probabilité que ces 3 veaux soient stériles est de (1/4)^3 etc ...
bonsoir
Ok ceci est déjà indiqué dans mes messages précédents mais pouvez vous m'expliquer votre arbre?Car si je calcule bien, p2(2descendants)= 16*(0.25)²=1!
Il y a un problème.
A+
Bonjour à tous,
Cela me parait un peu confus ! Pour information, j'ai fait 2000 fois la simulation (sur 30 générations, après le nombre ne bouge pas) et j'ai un pourcentage qui oscille entre 37.5 et 42.5% de chances d'extinction.
Je ne suis pas du tout d'accord avec les 100% d'extinction, regardez l'arbre dessiné par phoenixgg, lui est dans le vrai.
La probabilité d'extinction à la génération 1 est de 0.25.
La probabilité d'extinction à la génération 2 est de : P(1ère vache donne 1 veau)x1/4 + P(1ère vache donne 2 veaux)x1/4^2 + P(1ère vache donne 3 veaux) x 1/4^3 = 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 = 0,08203125
Donc la proba que l'espèce s'éteigne au bout de 2 générations est 0,33203125.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Re,
Tu es dans le vrai, ton intuition est la bonne. n'écoute pas ce que t'ont dit les autres (sauf phoenixgg). Un simple calcul le prouve : l'espérance pour une vache vaut 1.5 cela signifie que d'une génération sur l'autre, une vache donnera naissance en moyenne à 1.5 veaux. Cela signifie qu'en moyenne, la population sera multipliée par 1.5 à chaque nouvelle génération.Pour l'instant je n'ai pas de correction.
Mais j'ai vraiment du mal à croire à 100% car plus les générations passent plus la probabilité d'extinction devrait diminuer car 12 vaches (par exemple) qui font entre 0 et 3 descendant, la probabilité que tous les descendants fassent tous 0 est plus faible que la première seule ?
Donc j'aurais dit que la progression devait être de plus en plus faible de génération en génération car nombre de plus en plus élevé en théorie
Merci pour votre aide
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Attention, seules les femelles sont à prendre en compte (soit 0.75) car (sauf erreur de ma part) seules les vaches vèlent et perpétuent l'espèce, les descendants des taureaux étant déjà comptés dans la statistique "descendants des femelles".
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bonsoir
C'est exact, ma théorie est fausse . l'arbre est correct ; l'arbre complet est complexe à partir de la 3ième génération et la probabilité bien que croissante n'atteint que 36,5% . Désolé pour Ogibiol
A+
Bonjour,
Comment fais-tu Yifuming pour arriver à ce pourcentage ?
J'ai bien compris le principe mais comme tu dis je me perd à partir de la 3eme génération, y a-t-il une récurrence quelconque que je n'aurai pas encore trouvée ?
Merci
Merci NicoEnac c'est exactement çà !Bonjour à tous,
Cela me parait un peu confus ! Pour information, j'ai fait 2000 fois la simulation (sur 30 générations, après le nombre ne bouge pas) et j'ai un pourcentage qui oscille entre 37.5 et 42.5% de chances d'extinction.
Je ne suis pas du tout d'accord avec les 100% d'extinction, regardez l'arbre dessiné par phoenixgg, lui est dans le vrai.
La probabilité d'extinction à la génération 1 est de 0.25.
La probabilité d'extinction à la génération 2 est de : P(1ère vache donne 1 veau)x1/4 + P(1ère vache donne 2 veaux)x1/4^2 + P(1ère vache donne 3 veaux) x 1/4^3 = 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 = 0,08203125
Donc la proba que l'espèce s'éteigne au bout de 2 générations est 0,33203125.
Merci également à tous pour votre aide.
Bonsoir
J'ai complété ton arbre pour 1 et 3 a la 2ième génération et ensuite j'ai calculé les probabilités qui mènent à 0 à la 3ième.
Ex .___2___4___0 p3(0 si(2et4))= 0.25*3*(0.25)²*(0.25)4=3*(0.25)7.
A remarquer que pour 3, il y a 10 cas.
Suivant les générations, j'ai trouvé:
pour G1 p1=0.25
pour G2 p2= p1 + 0,25² + 0.253+0.254
pour G3 p3=p2 + 0.253+3*0.254+7*0.255+10*0.256+13*0.257+14*0.258+13*...9+ etc...
Ce qui fait environ p3=37%(sauf erreur...)
A la génération 4 le nombre de cas va considérablement augmenter:
par exemple si l'on a 5 vaches, il y a 16 cas mais pour le calcul des probabilités il faut envisager les nombres de 5 chiffres que l'on peut former avec les chiffres 0,1,2 et 3.
Peut-être existe-t-il une autre solution?
A+
Je suis d'accord avec le principe mais je pense que dans l'énoncé, on ne parle que de vaches femelles. Car on ne nous parle pas de répartition ou de probabilité que le veau soit mâle ou femelle (qui n'est jamais 1 chance sur 2 comme on le croit communément).
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Bonjour
Curieuses ces vaches femelles ;les veaux seraient des vaches mâles et les taureaux des vaches...qui rient?
Plus sérieusement, comment fais -tu une simulation ? J'ai trouvé qu'à la génération 4, la proba p4 = 38,7% à 10-1 près en négligeant les termes à partir de (0.25)10.
A+
Pour simuler, j'utilise personnellement R qui est gratuit mais on peut simuler avec à peu prés tous les logiciels de programation.
La proba à la génération 4 est exactement de 38,92% à 10^(-2) prés.
Il est vrai que l'on pourrait distinguer les males des femelles mais se serait indiqué précisement dans l'énoncé, il ne faut donc pas en tenir compte.
A+
Bonjour, je suis assez intéressé par vos raisonnements mais je ne comprends pas très bien comment vous modélisez tout cela pour les générations supérieures...
Bien vu ! J'expliquais simplement que le problème ne prenait pas en compte le fait que le descendant pouvait être mâle ou femelle. Je me suis sans doute emmêlé les pinceaux.
Personnellement je me suis fait une feuille excel et via une macro je pars d'une vache, je tire un nombre aléatoire dans [0;4[ (avec une probabilité uniforme) et j'attribue sa partie entière comme nombre de descendants. Je répète l'opération sur 30 générations (à partir de là, dans aucune de mes simulations, l'espèce ne s'est plus jamais éteinte). Et je recommence 20000 fois. Ensuite je fais une moyenne sur les 20000 simulations : combien se sont éteintes au bout d'une générations ? Combien au bout de 2 ? De 3 ? Etc... et j'estime que 20 000 est un nombre de simulations suffisants pour dire que je converge à peu près vers la solution théorique.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
BonsoirPersonnellement je me suis fait une feuille excel et via une macro je pars d'une vache, je tire un nombre aléatoire dans [0;4[ (avec une probabilité uniforme) et j'attribue sa partie entière comme nombre de descendants. Je répète l'opération sur 30 générations (à partir de là, dans aucune de mes simulations, l'espèce ne s'est plus jamais éteinte). Et je recommence 20000 fois. Ensuite je fais une moyenne sur les 20000 simulations : combien se sont éteintes au bout d'une générations ? Combien au bout de 2 ? De 3 ? Etc... et j'estime que 20 000 est un nombre de simulations suffisants pour dire que je converge à peu près vers la solution théorique.
Merci pour ce renseignement trés astucieux. Si j'y avais pensé, j'aurais vu mon erreur.
A+
Dernière modification par Philou67 ; 21/10/2010 à 08h57. Motif: Réparation balise de citation
Bonjour,
Ce n'est pas une question que je m'attends à trouver dans la section "collège et lycée". Mais on peut la trouver avec juste une variation d'habillage dans un concours récent sur le web qui s'est terminé hier, et je peux me permettre maintenant d'intervenir, pour donner quelques informations à ceux qui ont pris du temps à essayer de répondre à la question.
Il s'agit d'un cas particulier du "problème de branchement", soulevé dès le XIXème siècle à propos de la survie des noms de famille. C'est un cas particulier de chaîne de Markov avec absorption, et de marche aléatoire.
Un développement du sujet (pas du tout du niveau collège !) peut être trouvé par exemple dans http://www.unige.ch/math/folks/velenik/papers/LN-PS.pdf, section 4.1.2.
Le théorème 4.1.3 indique que la réponse est la plus petite racine positive de s=G(s), où G est la fonction caractéristique de la loi de probabilité du nombre de descendants à chaque génération.
ici G(X) = (1+X+X²+X3)/4
G(s)=s a pour plus petite racine strictement positive
soit une probabilité d'extinction d'à peu près 41.4 %
Merci Amanuensis pour cette réponse. Je dois avouer que cela fait plusieurs jours que j'essayais de trouver la réponse "théorique".
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