Probabilités

[invitefd6f9c33]

Bonjour à tous,

Question de proba et je n'ai pas d'idées du calcul pour parvenir à la réponse.

Un fermier à mis au point une variété de vache super-productrice.
Il part donc d'une seule vache de départ.
Chaque génération (dont la première vache) peut faire 0, 1, 2 ou 3 descendant dans sa vie (donc probabilité 1/4;1/4;1/4;1/4).

Quelle est la probabilité que cette nouvelle race s'éteigne un jour ?



Merci pour vos idées ? Car autant le calcul sur la première vache je vois (1/4 ) mais alors après sur des tonnes de générations ?????


Ogibiol
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[danyvio]

Sans aller plus loin, je dirais qu'une vache a une espérance mathématique de descendance de :
0x1/4 + 1x1/4 +2x1/4 +3x 1/4 = 6/4=1,5

[invite6f0362b8]

Déja, elle a toute les chances de s'eteindre, en partant seulement avec une seule vache

[invitefd6f9c33]

C'est un vrai problème mathématiques, pas de piège ou autre astuce.

Quelle est la probabilité que cette espèce s'éteigne alors que la vache de départ peut avoir 0; 1;2; 3 descendant. (avec taureau a disposition si besoin)

Sachant que les descendant (taureau ou vache) pourront avoir également tous à leur tour 0;1;2;3 descendant ?

La vraiment je ne vois pas comment calculer ceci ??

Mais apparemment je ne suis pas le seul

merci pour votre aide

a+

Ogibiol

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92f44174]

bonsoir

Supposons donc que les événements soient équiprobables(?).On suppose qu'aucun taureau ne manque à l'appel...
1° Calcule les probabilités P1,P2 et P3 pour que la race s'éteigne à la génération 1,2 et 3.
2° Si l'on appelle Pn et Pn+1 les probabilités aux générations n et n+1, établis une relation entre Pn+1 et Pn.
3° En déduis la valeur de Pn

A+

[invitefd6f9c33]

1. La première 25%
2. La génération 2 :
(1)25% si la première à 1 descendant (1/4)
(2)6.25% si la première à 2 descendant (1/4*1/4)
(3)1.5625% si la première à 3 descendant (1/4*1/4*1/4)

3. La génération 3 :
(1)(1) 25%
(2) 6.25%
(3) 1.5625%
(2)(1)
(2)
(3)

Je n'y arrive plus ?

Il faut mettre une exponentielle quelque part ?

[invite92f44174]

A la génération 2 l'augmentation de probabilité est identique quel que soit le nombre de descendants c-à-d ...
A+

[invitefd6f9c33]

Une augmentation de 0.078125 à la génération 2 ?

Et donc même augmentation à la 3 ?µ
Pn+1 = Pn + 0.078125 ?

[invitefd6f9c33]

Non plutôt :

Une augmentation de 0.078125 à la génération 2 ?

augmentation à la 3 = 0,01953125

Pn+1 = Pn *0.25 ?

[invite92f44174]

génération 2
Il faut faire un "arbre"
si 1 descendant la variation de probabilté n'est pas 1/4 mais (1/4)² pourquoi?
si 2 etc...
laisse les puissances de 1/4.

[danyvio]

Personne n'a parlé du sexe des descendants... Les vaches font des veaux femelles, aptes à devenir des vaches, mais aussi des mâles... En principe en nombre statistiquement égal (?)

[invite92f44174]

Pour qu'à la génération 2 la race s'éteigne quand on a 1 descendant à la génération1 et 1 à la génération 2, la proba augmente donc de (1/4)*(1/4) en supposant les 2 événements indépendants

[invitefd6f9c33]

Oui mais je n'arrive pas à tirer un loi de tout cela pour déduire la probabilité ?
Du coup pour le cas de 2 descendant r, Génération 2 on aurait 1/4*1/4*1/4 ?
Et la probabilité augmenterait en G2 de 0.08203125 ?

[invite92f44174]

non c'est identique puisque la distribution est équiprobable; (1/4) au cube, c'est la génération 3

[invite92f44174]

tu as donc 3 cas à envisager à la génération 2:
le cas 1 descendant
le cas 2 descendants
le cas 3 descendants
Ce qui fait une augmentation de...de la probabilité.

[invitefd6f9c33]

Donc si je comprends bien : Pour qu'à la génération 2 la race s'éteigne quand on a 1 descendant à la génération1 et 2 à la génération 2, la proba augmente donc de (1/4)*(1/4)+(1/4)*(1/4) ?

[invite92f44174]

exact et n'oublie pas les 3 descendants!

[invite92f44174]

A la génération 3, combien de cas as-tu à étudier?Attention, il y en a plus de 3!

[invitefd6f9c33]

Proba de s'éteindre en G1 : 0.25
En G2 :
1 0.0625
2 0.125
3 0.1875

En additionant les 3 : 0.375 ?

Donc la probabilité que cela s'éteigne en génération 2 est plus élevé qu'en génération 1 et la je ne comprends plus du tout ? Cela devrait baisser normalement ?

[invite92f44174]

non cela augmente avec les générations!(lentement)
A la génération 3 tu auras pour chacun des cas de la génération 2 (mis à part le cas ou la race s'éteint) 3 cas à étudier que tu évalueras en fonction de 1/4.Ensuite, SANS CALCULER, tu écriras
P1, P2 et P3 en fonction des puissance de 1/4 ce qui te permettra de généraliser.

Tu montreras que Pn est la somme des termes d'une suite que tu reconnaîtras.

A+

[invite92f44174]

Attention, en G2, chaque résultat est identique.

[invitefd6f9c33]

Ah !!

Donc en G2 j'ai faux en fait c'est plutôt :
1. 0.0625
2. 0.0625
3. 0.0625

Soit une proba de 0.1875

En g3 : 9 possibilités à (1/4)3 chacune soit proba totale de 0.140625

Si j'additionne 0.25+0.1875+0.140625 je suis déjà à 0.57 de proba ??

Au bout d'encore plus de génération je vais être à 100 % ???

[invite92f44174]

hé oui ; mais auparavent, j'aurais bien voulu que tu écrives:
P1=1/4, P2=1/4 + 3*(1/4)² et P3= 1/4 + 3*(1/4)² + 9*(1/4)³ et plus généralement
Pn = Pn-1 + 3^?*(1/4)^? (remplace le ? par le bon nombre)

J'oubliais; ton professeur te proposera certainement une solution plus rapide et plus simple faisant intervenir l'événement contraire: la probabilité pour que la population ne s'éteigne pas.
En effet, à chaque génération, si la probabilité de 0 descendant est 1/4 et la population se termine, la probabilité qu'elle se perpétue est donc 3/4.En conséquence on peut rechercher cette proba au bout de n générations...
Cette méthode bien que très rapide est moins intéressante que la précédente ... pour un élève... car elle nécessite moins de notions indispensables. Voilà. Bon courage et peut-être à bientôt.

Bye

[danyvio]

Ce serait sympa de nous livrer la correction

[invite98f48533]

Je pense que la solution est plus compliquée que cela, voici un arbre qui représente la seconde génération uniquement dans le cas où il y a 2 individus à la génération 1 :

Pièce jointe supprimée.

[JPL]

Merci de fournir ce schéma dans un format graphique (GIF, PNG ou JPG).

[invite98f48533]

Je fourni le fichier en format jpg mais si vous ne voulez plus de fichiers pdf il faudrait modifier les formats acceptés car pdf y figure encore.
Cordialement

[invitefd6f9c33]

Pour l'instant je n'ai pas de correction.

Mais j'ai vraiment du mal à croire à 100% car plus les générations passent plus la probabilité d'extinction devrait diminuer car 12 vaches (par exemple) qui font entre 0 et 3 descendant, la probabilité que tous les descendants fassent tous 0 est plus faible que la première seule ?
Donc j'aurais dit que la progression devait être de plus en plus faible de génération en génération car nombre de plus en plus élevé en théorie

Merci pour votre aide

[JPL]

Oui, mais il est dit que les illustrations doivent être fournies dans un format graphique. Et pour les pdf :

=>Le mode ".pdf" est le plus approprié aux documents (hors copyright, s'en assurer auparavant)

[invite92f44174]

bonsoir

Il ne faut pas trop de fier à l'intuition.
L'espérance de survie n'est que de 1 vache et demi... et encore, si cette vache est un veau!!
Plus sérieusement, à chaque génération, tu as un % de vaches stériles . Et comme les petits ruisseaux font les grandes rivières...


A+