polynome de degré 4

[invite4c898aeb]

1)déterminer un polynôme P,de degré 4,tel que: P(x+1)-P(x)=x^3
2)En déduire la valeur de la somme 1^3+2^3+...+n^3

merci de m'aider parce que la j'ai vraiment du mal.
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[Jon83]

Bonjour!
1) tu écris ton polynôme sous la forme
Tu calcule P(x+1)-P(x) et tu identifies les monômes de même degré pour trouver a, b, c, d et e...
Calculs un peu laborieux mais faisables sans difficultés en étant bien attentif...

[invite0613a860]

Bonsoir,

Commence par poser le polynôme:
P(x)=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

puis, tu écris p(x+1).
tu sais que p(x+1)-p(x) = x³
tu en déduis les coefficients a_n

[invite4c898aeb]

merci de ta réponse,cependant j'ai finalement trouvé cette réponse,le probleme est plutot pour la 2eme question a laquelle je ne trouve pas de réponse...
si vous pouviez m'aider ...
merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

merci de ta réponse,cependant j'ai finalement trouvé cette réponse,le probleme est plutot pour la 2eme question a laquelle je ne trouve pas de réponse...
si vous pouviez m'aider ...
merci d'avance

Essaye de calculer S(n+1)-S(n) et la solution va te sauter aux yeux....

[invite4c898aeb]

quand je fait le calcul je retombe sur x^3...

[Jon83]

Quel résultats as tu obtenu à la question 1)?

[invite0613a860]

Poses x = n dans ta différence de polynôme...

[invite4c898aeb]

P(x)= 1/4 x^4 - 1/2 x^3+3/2 x^2 + 5/4 x

[Jon83]

Non, ce n'est pas ça... Vérifie tes calculs !!!

[invite4c898aeb]

combien trouves-tu ? je l'ai fait plusieurs fois et je retrouve toujours les memes resultats

[Jon83]

Tu dois trouver

[invite4c898aeb]

sil vous plait aidez moi je dois rendre ce dm demain et je ne trouves pa

[invite4c898aeb]

je trouves alors P(x+1)-P(x)=4x^3+3x^2+3x+1
est ce que c 'est bon et si oui a quoi ca sert ?

[Jon83]

Mais non, tu n'as pas compris....As tu vérifié tes calculs et trouvé la valeur de P(x) que je t'ai donnée précédemment?

[sylvainc2]

Tu dois trouver

Ce serait pas plutôt -1/2 pour le terme en x^3 ?

[invite4c898aeb]

je trouve P(x)=x^4/4 - x^3/2 + x^2/4

[Jon83]

Tu fais erreur: je suis certain de l'expression
Tu peux vérifier sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_(arithm%C3%A9tique)

[invite4c898aeb]

oui je pense aussi que c -1/2 pour le terme en x3 cependant je ne sais pa quoi faire apres le calcul de P(x+1)-P(x)
quelqu'un pourrait m'aider ?

[Jon83]

Tu as trouvé que S(n+1)-S(n)=n^3
Tu sais que P(x+1)-P(x)=x^3
Donc P(x)=S(n). Tu remplaces donc x par n dans P(x), tu réduis au même dénominateur, tu factorises et tu dois obtenir

[invite4c898aeb]

tu es sur et certain que les coeffs sont 1/4 1/2 et 1/4 et non 1/4 -1/2 et 1/4 ?