Encadrer solutions d'un équation, fonctions continues.

[inviteefbb6942]

Bonjour à tous,

Voilà je fais appel à vous car je n'arrive pas à trouver ce qui ne va pas das mon exercice sur les fonctions continues.

Voilà l'énoncé :

Démontrer que l'équation x+(4/x²) = 9/2 admet une unique solution dans l'intervalle [1;4] et déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de cette solution.

J'ai compris le principe, j'ai dit

Soit f la fct définie sur IR* f(x)=x+(4/x²) et f(x)=9/2
f est continue (car fonction rationnelle et dérivable sur IR*)

Je fais la dérivée f'(x)=1-(8/x^3) soit f'(x)= (x^3-8)/x^3

Puis je fais le tableau de signe de f', trouve comme valeur interdite 0 et une solution 2.
Pour les variations de la courbe de f je trouve qu'elle est croissante sur ]-oo;0[ décroissante sur ]0;2[ et croissante sur ]2;+oo[

Et c'est là que le bas blesse, la courbe n'est pas strictement monotone sur [1;4] donc je ne peux pas dire qu'elle admet une unique solution sur cet intervalle.
Alors est ce qu'il faut en conclure que l'exercice veut nous faire démontrer le contraire ? Ou alors j'ai fais une erreur mais je ne vois pas où.
Je vous remercie d'avance.
Fedteam.
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[invite6c568dd3]

Salut,
Tu devrais peut être essayer d'étudier la fonction
f(x)=x^3 - (9/2)x²+4 et voir où elle s'annule.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Non tu n'as pas fait d'erreur, tu as juste oublié une partie du théorême des valeurs intermédiaires (que tu utilises aussi). Un indice: quand tu construis un tableau de variations, il faut aussi écrire les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle.

Bon courage.

[inviteefbb6942]

Merci d'avoir répondu,

Si je suis ce que tu dis Plume d'Oeuf, il faut écrire f(1) et f(4) tel que f(1) =5 et f(4)=4.25 et mettre 1 et 4 dans le tableau ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Oui, il faut toujours mettre les valeurs de la fonction pour les bornes de l'intervalle de définition dans un tableau de variations (ou les limites).

Maintenant tu cherches l'antécédent de 9/2 par f. Entre quelles valeurs cet antécédent va-t-il se trouver, rien qu'en observant les valeurs de f(1), f(2) et f(4) (et en considérant ce que tu as démontré avant).

[inviteefbb6942]

Si je comprend bien il faut dire que

f(2)<f(4)<9/2<f(1) cad 3<4.25<4.5<5 c'est bon ? On peut que f(c)=9/2

[invitee4ef379f]

Oulà, tu m'embrouilles là.

Tu as démontré que ta fonction est monotone par morceaux sur [1;4]: elle est décroissante sur [1;2] et croissante sur [2;4].

D'autre part tu sais que f(1)=5, f(2)=3 et f(4)=4,25. Comment montres tu que l'équation f(x)=9/2=4,5 n'admet qu'une seule solution sur [1;4]?

Il faut à chaque fois considérer des intervalles sur lesquels la fonction est monotone: commence donc par chercher le nombre de solutions à cette équation sur [1;2], puis sur [2;4], pour en déduire le nombre de solutions sur [1;4].

Bonne continuation.

[inviteefbb6942]

bon j'essaye:

f(1)=5 et f(2)=3
f est définie continue et strictement monotone sur [1;2]
de plus f(2)<f(x)<f(1)
donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires f(x)=9/2 admet une solution c dans [1;2]

f(2)=3 et f(4)=4.25
f est définie... sur [2;4]
de plus f(2)<f(4)<f(x) donc pas de solution dans [2;4]

oui mais dans ce cas c'est une unique solution dans [1;2] et pas dans [1;4] et donc ça ne va pas

[inviteefbb6942]

Ou alors on peut dire : une unique solution dans [1;4] mais je n'en suis pas sûr.

[invitee4ef379f]

bon j'essaye:
f(1)=5 et f(2)=3
f est définie continue et strictement monotone sur [1;2]
de plus f(2)<f(x)<f(1)
[...]

L'idée est là mais la dernière ligne ci dessus devrait plutôt être: "f(2)<9/2<f(1), donc ..."

f(2)=3 et f(4)=4.25
f est définie... sur [2;4]
de plus f(2)<f(4)<f(x) donc pas de solution dans [2;4]
[...]

Même réflexion.

oui mais dans ce cas c'est une unique solution dans [1;2] et pas dans [1;4] et donc ça ne va pas

Bah tu viens de montrer qu'il y avait une unique solution sur [1;2] et pas de solution sur [2;4]; combien y a-t-il de solutions sur [1;4]?

[inviteefbb6942]

Bah tu viens de montrer qu'il y avait une unique solution sur [1;2] et pas de solution sur [2;4]; combien y a-t-il de solutions sur [1;4]?[/QUOTE]


Il y en a une seule

[inviteefbb6942]

Merci beaucoup pour ton aide et tes conseils.

[inviteca2b4618]

Les idées sont peut être la mais la redaction est loin d'être celle qu'il faut. relit ton cour et rédige correctement ce sera plus clair