SOS étude de fonction

[invite8833bfb5]

Bonsoir à tous,

Je me permet de solliciter votre aide car j'suis vraiment perdu la ..

Commençons par le fait que je ne comprend pas tous les termes de l'exo, à savoir: f(n) dérivée n-ième (= une fonction qu'on aurait dérivé n fois ? )

& maintenant entrons dans le vif du sujet si je puis dire..

Soit f la fonction définie sur ]2;+inf[ par:

f(x)=(2x+1)/(x-2)

En notant f(n) (avec le (n) en haut comme une puissance ) la dérivée n-ième de la fonction f, démontrer que pour tout n € N*

F(n)(x)=[5(-1)^n] [(n!)/([x-2]^n+1)]

Faudrait il effectuer un raisonnement par récurrence ici ? Si oui je ne vois pas lequel.. :/


Quoiqu'il en soit j'ai essayé d'être le plus compréhensible dans l'écriture de la fonction si vous ne comprenez pas quelque chose n'hésitez à m'en informer.

Je vous remercie par avance du temps que vous m'accordez.

Cordialement.
-----

[Jeanpaul]

Tu te simplifierais la vie en écrivant que :
f(x) = 2 - 5/(x-2)
Dès lors, les dérivées deviennent très simples à calculer, par récurrence si tu veux.

[cpalperou]

Bonsoir à tous,

Je me permet de solliciter votre aide car j'suis vraiment perdu la ..

Commençons par le fait que je ne comprend pas tous les termes de l'exo, à savoir: f(n) dérivée n-ième (= une fonction qu'on aurait dérivé n fois ? )

& maintenant entrons dans le vif du sujet si je puis dire..

Soit f la fonction définie sur ]2;+inf[ par:

f(x)=(2x+1)/(x-2)

En notant f(n) (avec le (n) en haut comme une puissance ) la dérivée n-ième de la fonction f, démontrer que pour tout n € N*

F(n)(x)=[5(-1)^n] [(n!)/([x-2]^n+1)]

Faudrait il effectuer un raisonnement par récurrence ici ? Si oui je ne vois pas lequel.. :/


Quoiqu'il en soit j'ai essayé d'être le plus compréhensible dans l'écriture de la fonction si vous ne comprenez pas quelque chose n'hésitez à m'en informer.

Je vous remercie par avance du temps que vous m'accordez.

Cordialement.

Salut,
Effectivement, un raisonnement par récurrence te permet de démontrer cette égalité.
1/ Tu vérifies que l'égalité est vraie pour n=1. C'est à dire, tu calcules la dérivée de f et tu vérifie que la formule à démontrer te donne la même chose pour n=1.
2/ Tu suppose l'égalité vrai au rang n et tu calcules, la dérivée (n+1)ème. Tu dois alors retrouver des termes du genre (-1)^(n+1) et (n+1)!...

[invite8833bfb5]

Pardonnez mon absence de réponse j'ai du m'absenter pour un moment.
Pour commencer je vous remercie d'avoir répondu à ma question.
@cpalperou: le 1/ C'est fait et je suis ok !
pour le 2/ j'ai fait l'étape d'Initialisation mais en ce qui concerne l'hérédité, je n'arrive pas à dériver n! par exemple ou du moin je ne sais pas combien cela fait !
J'ai essayé de simplifié l'expression donné, ce qui me donne [(-5)^n x n!]/(x-2)n+1

En théorie je devrai retomber sur [(-5)^n+1 x (n+1)!]/(x-2)n+2

Sauf que je trouve et la attention accrochez vous,
( [n!(-5n)^n-1][(x-2)^n+1]-[(-5)^n x n!][(x-2)(n+1)] ) / [(x-2)^n+1]²

Bref autrement dis c'est la catastrophe puisque rien qu'au dénominateur j'ai du (x-2)n+3 et pas ^n+2 ..

Si quelqu'un à un element de réponse je suis preneur
Merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8833bfb5]

Edit: En factorisant par (x-2) j'ai réussi à trouver:

( [n!(-5n)^n-1][(x-2)^n]-[(-5)^n x n!][(n+1)] ) / [(x-2)^n+2]

C'est un peu plus court, je trouve ce qu'il faut au dénominateur.. Mais pour le reste ça reste .. Hmm moyen j'vois pas trop quoi faire la :/

[Jeanpaul]

Fais par récurrence : la formule est vraie pour n=0 (c'est la fonction elle-même).
Tu supposes qu'elle est vraie pour n (la formule de Fn), tu dérives la fonction Fn(x) et tu vérifies que ça donne bien la fonction Fn+1

[invite8833bfb5]

C'est justement ce que je n'arrive pas à faire.. Et c'est sur ça que je need de l'aide.
Je sais ce qu'il faut faire, puisque détaillé plus haut mais je n'y arrive pas.

[Jeanpaul]

Prends la dérivée n ième F(n)(x) qui vaut 5. (-1)^n n! (x-2)^(-(n+1))
Dérive cette fonction, ce sera la dérivée (n+1)ème :
F'(n)(x) = 5.(-1)^n.n! [-(n+1)] (x-2)^(-(n+2))
En regroupant les (-1)^n et le (n+1) n!, on voit que F'(n) n'est rien d 'autre que F(n+1) : on a simplement remplacé n par (n+1) dans l'expression.