dérivabilité fonction sinus

[inviteffc3655f]

Bonjour,

je suis en TS et dans un DM de maths (facultatif, mais bon le prof nous a fait comprendre qu'il vallait mieux le faire si on tenait à avoir une bonne remarque dans le dossier ), je bloque à la 6^ème question. A la question 5, on nous demandait de déduire que pout tout x de ]-pi/2 ; pi/2[, on a |sinx - x| =< |x³/2|.

Jusque là j'ai réussi, mais à partir de cette question, on nous demande d'en déduire la dérivabilité de la fonction sinus en 0 et la valeur de sin'(0)
je vois pas trop quoi dire, alors si vous pouviez juste me débloquer, ça m'aiderait beaucoup

Merci d'avance
-----

[invitea3eb043e]

La dérivée de sin(x) en zéro, ce n'est jamais que la limite de sin(x)/x en zéro et ton inégalité permet de la calculer, donc de montrer que sin'(0) existe et de la calculer.
Ceci dit, cet exo est assez cocasse car je parierais bien que pour montrer ton inégalité, tu as utilisé la dérivée de la fonction sinus, directement ou non (développement en série ou étude de fonction).

[inviteffc3655f]

Non non j'ai pas utilisé la dérivée de la fonction sinus pour arriver à l'inégalité, en fait il y avait une série d'inégalités dans les questions précedentes pour arriver à ce résultat, et l'exercice nous fait tout démontrer sans connaître la dérivée de la fonction sinus.
En gros il faut faire |sinx - x| =< |x³/2| donc |sinx| =< |(x³+2x)/2| donc |sinx/x| =< |(x²+2)/2| et conclure ?
Merci beaucoup de m'avoir répondu, ça m'a bien aidé.

[inviteffc3655f]

Non en fait ça doit pas être tout à fait ça...

[A voir en vidéo sur Futura]