Bonsoir a tous,
Je suis en train de lire mon cours de math , et je lis ceci :
La bijection étant le mélange entre la surjection et l'injection.Seules les bijections admettent une fonction réciproque
Je comprends qu'une fonction uniquement surjective ne puisse pas être réciproque.
Mais par contre je ne comprends pas pourquoi une fonction simplement injective ne pourrait pas avoir de réciproque
Ca serait sympa de m'expliquer cela
Merci de votre lecture !
il faut preciser l'ensemble de départ et d'arrivée par exemple prenez f définie par f(x) = x² de R vers R non bijective mais de R+ vers R+ ou de R- vers R+ devient bijective
Tu ne réponds pas a ma question
x² n'est pas une fonction injective...
Je voudrais savoir si il existe une foncton injective qui ne soit pas réciproque .
Bonsoir,
x->x² est une fonction très utile car suivant les intervalles elle peut être surjective, injective, bijective ou rien du tout.
Si vous définissez x->x² de R+ dans R elle est injective mais n'admet pas de fonction réciproque de R dans R+, les nombre négatifs n'aurait pas d'images par cette fonction réciproque.
La moindre des choses pour une fonction est d'être définie sur son ensemble de départ ^^.
Je ne vois pas pourquoi x² définie uniquement sur R+ n'aurais pas de réciproque...Envoyé par S321
Une réciproque est une symetrie selon la droite y=x
Si on prend la courbe sur R+ de x² ,qu'on lui applique sa symetre par rapport a y=x , on obtient toujours une droite
Ce n'est donc pas un exemple d'une fonction injective qui ne possède pas de réciproque il me semble...
Qu'on soit juste d'accord sur les termes , injective : fonction pour laquelle chaque x appartenant a son domaine possede une image tel que image de x1 sera toujours différente de x2
Donc soit je ne comprends pas vos réponses soit vous ne comprenez pas ma question
C'est la première solution. Vous avez posé une question tout à fait claire et précise. Votre question est : "Une fonction non-surjective peut-elle admettre une fonction réciproque ?"
C'est assez mal exprimé, mais c'est ça.Qu'on soit juste d'accord sur les termes , injective : fonction pour laquelle chaque x appartenant a son domaine possede une image tel que image de x1 sera toujours différente de x2
Tout de même pour que vous ayez une définition un peu formelle de l'injectivité : Si f est une fonction injective définie sur E à valeurs dans F et x1, x2 sont des éléments de E tels que f(x1)=f(x2) alors x1=x2
Plutôt que de dire que les images d'éléments différents sont différentes, on dit que si les images sont égales, les éléments le sont aussi (c'est plus facile de gérer des égalités que des non égalités).
Ce n'est pas une définition suffisante, c'est une interprétation géométrique de ce qu'est l'application réciproque, mais il faudrait rajouter des conditions sur les ensembles de départ et d'arrivés pour avoir équivalence.Une réciproque est une symetrie selon la droite y=x
Si vous avez f:E->F son application réciproque f-1:F->E est l'application qui à un élément de F associe son (unique) antécédents dans E par f.
Pour pouvoir définir cette application réciproque il faut que tous les éléments de F admettent un antécédent par f. Imaginons que y∈F n'ai pas d'antécédent par f, alors on ne peut pas définir f-1(y), pourtant y∈F donc on ne peut pas définir f-1 sur F tout entier.
On est obligé de restreindre l'espace d'arrivé de f pour la rendre surjective, mais ce n'est plus la même fonction, même si on enlève de l'espace d'arrivé que des valeurs qui ne sont jamais atteintes.
