Géométrie 1ère S

[invite9168226d]

Bonsoir à tous,

Je sèche sur un problème. Voici l'énoncé :
Les demi-cercles C1 et C2 ont pour rayons respectifs 2 et 1. J est le centre de C2 et O le centre de C1. H est un point du segment [AO]. La perpendiculaire à(AB) passant par H coupe C1 en N et C2 en M.
Où placer M de sorte que MN = 1?

J'ai essayé les triangles inscrits, ça ne marche pas, les équations de cercle, j'obtiens un système avec plein d'équations et 4 inconnues et je n'ai pas encore vu les relations métriques d'un triangle.

Si vous pouviez me dire si je dois développer l'une des méthodes ou si je suis à côté de la plaque, ça serait vraiment sympa

Lien de la figure:
http://mathsplus.net/entrainement_pd...niveau__1s.pdf (deuxième figure)
-----

[danyvio]

Je n'ai pas approfondi, mais il me semble que le problème serait meiux posé en demandant : où faut-il placer H (au lieu de où faut-il placer M, qui dépend de H)

J'ai commencé à regarder quelque chose, que je te livre sans garantie d'utilité, en traçant les triangles rectangles ANB et AMO, et en remarquant que MN = HN - HN. ces derniers sont les hauteurs de ces deux triangles.

[invite9168226d]

Merci beaucoup danyvio, je vais creuser, d'autres idées?

[invite9168226d]

Merci beaucoup danyvio, je vais creuser, d'autres idées?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Bonjour,

danyvio a vu juste: il est plus pratique de chercher la position du point H.

En écrivant Pythagore dans les triangles rectangles JHM et OHN puis en remplaçant JH par (JO-OH), HN par (HM+1) et JO, JM et ON par leurs valeurs respectives on tombe sur un système de deux équations à deux inconnues (OH et HM), solvable.

Peut être que des considérations purement géométriques peuvent nous amener au même résultat, mais je ne suis pas très doué dans ce domaine, désolé.

Bon courage.

[invite9168226d]

Merci à vous deux alors

[invite51d17075]

je vois pas non plus d'approche plus directe et donc plus élégante.
en fait il y a 6 triangles rectangles.
AMB, et AN0
et pour faire disparaitre les distances AM, MB, AN et NO, on utilise aussi AHN, AHM ,BHN, et BHM rectangles.
on trouve bien 2 equations à 2 inconnues (x,y ) coordonnées de M.
on peut facilement remplacver y et au final une seule equation du second degré en x.

je trouve x ( soit OH )= (5-sqrt(7)/4
( en esperant n'avoir pas été trop vite ! )