Etude d'une fonction logarithme

[invite4d056e96]

Bonjour à tous !
J'ai un exercice pour la rentrée sur les logarithmes juste avant le DST et je bloque sur des questions de cette exercice. Pouvez vous me venir en aide ?

Voici l'exercice :
1) La fonction h est définie sur ]0;+l'infini[ par : h(x) = x²+1-ln x .
Etudier les variations de la fonction h et en déduire son signe .

2)La fonction p est définie sur ]0;+l'infini[ par :
p(x) = x + lnx/x
a) Calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction p .

b) Etudier les limites en p en 0 et +l'infini
Démontrer que sa courbe représentative C admet 2 asymptotes dont l'une est la droite d d'équation y=x.
c) Déterminer les points de C en lesquels la tangeante est parallèle à la droite d.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
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[invite4d056e96]

Alors pour le début, j'ai trouvé que h'(x) = 2x-1/x = x(2-1/x²).

Par contre j'aimerais savoir pour connaitre le signe de la dérivée, le signe dépend bien du x mis en facteur ? Donc ça serait positif mais est ce que l'intérieur de la parenthèse doit être pris en compte ?

Je trouve que h(0)=1-ln0 et h est croissante.

Pour le signe : Je calcule les limites.
En + l'infini,
Je trouve avec x² + 1 tend vers +l'infini mais -lnx tend vers - l'infini car lnx tend vers + l'infini
Donc :h(x) = x (x+ 1/x - lnx/x)
Je trouve + L'infini

En 0+ je trouve
lim x² + 1 tend vers 1 et lim lnx tend vers - l'infini donc la limite en -lnx tend vers + l'infini.
Au final je trouve + l'infini.

Est ce déjà correcte ?

[erik]

C'est presque ça,

Tu as bien h'(x)=x(2-1/x²) , c'est un produit, il faut que tu examines le signe de chaque membre de ce produit pour connaitre le signe de h'(x), est il possible que 2-1/x² soit négatif ? sur quel intervalle ?

Je trouve que h(0)=1-ln0

Il NE FAUT PAS écrire ce genre de chose ln n'est pas définie en 0, on ne peut pas écrire ln(0).

Tes limites sont bonnes, et elles montrent que ta fonction ne peut pas être croissante sur ]0,+inf[, on ne peut pas avoir une fonction qui "est" infinie en 0 et qui croit vers l'infini.

[invite4d056e96]

Bonjour !

Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas croissant. j'ai deux fois + l'infini ce n'est pas possible donc il y a une valeur interdite peut être ?
Et je ne trouve pas quand la dérivée est négative car xcarré est toujours positif.
Je fais peut être 2-1/(x au carré)>0
donc 1/(x au carré) >-2 et x = racine de 2 / 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

x² est toujours positif, ok, mais qu'en est il de (2-1/x²) ?
Pour quelles valeurs de x a t on : 2-1/x²<0 ? C'est facile à résoudre

[invite4d056e96]

Je fais delta ?

[erik]

Pas besoin, isole le x :

2-1/x²<0 si et seulement si 2<1/x² donc si ....

[invite4d056e96]

2< x²
x<racine de 2?
Je pense avoir fait une erreur.

[erik]

Oui effectivement c'est pas ça,

On a 2<1/x² donc
2x²<1 (on a multiplié à droite et à gauche par x²) donc
x²<1/2 (on a divisé à droite et à gauche par 2) donc
x<1/(racine de 2)

Donc pour x<1/(racine de 2) 2-1/x²<0, alors quand est ce que h'(x) est négative, positive ?

[invite4d056e96]

Ah bah oui tout simplement

Donc on a x <1/racine de 2
Donc sur ]0; 1/racine de 2 [ c'est négatif et positif sur ]1racine de 2 /2;+ l'infini c'est positif donc j'ai en gros :
- l + dans mon tableau

[erik]

Voila c'est ok.
Maintenant on te demande d'en déduire le signe de h(x) : regarde ton tableau de signe, quel est la valeur minimale de h(x) ?

[invite4d056e96]

Je trouve ensuiite décroissant croissant et je trouve h(1racine de 2) = 3/2 - ln 1/racine de 2.
C'est bien ça ?

[invite4d056e96]

Sa valeur minimal c'est h(1/racine de 2)?

[erik]

Tout à fait, donc quel est le signe de h(x) ?

[invite4d056e96]

c'est négatif puis positif autour de 1/racine de 2 ?

[erik]

Non, fait un dessin rapide du graphe de ta fonction

[invite4d056e96]

Positif positif ?

[erik]

oui h(x) est toujours positive, à proximité de zero elle tend vers +infini donc positive, elle est décroissante jusqu'à h(1/(racine de 2)) (qui est >0) donc elle reste positive et à partir de là elle est croissante donc reste toujours positive.

Plus rapidement : sa valeur minimale est positive donc forcement h(x) est positif pour tout x.

Bon courage pour la question 2/ Et n'essaye pas de "deviner" les réponses écrit tes équations, résoud calmement ce qu'il y'a à résoudre, fait des schemas pour mieux comprendre la situation ....

[invite4d056e96]

Ah d'accord je crois que c'est ça que je ne comprenais pas trop dans les tableaux ! Encore merci pour votre aide! Bonne fin de journée!