Les intervalles

[inviteda3529a9]

Bonjour.
J'ai une question à vous poser:

Soit f une fonction continue de l'intervalle [0;1] dans l'intervalle [0;1].
1/ Montrer que f possède un "point fixe", c'est à dire qu'il existe un nombre G de l'intervalle [0;1] tel que f(G)=G.
Utiliser le théorème des valeurs intermédaires.
2/ Interprêter graphiquement ce résultat.
3/ Le résultat subsiste-t-il si on remplace l'intervalle [0;1] par l'intervalle [a;b],où a et b sont 2 réels quelconques vérifiant a inférieur à b.

Je ne comprends pas la question 1/ (pourtant, j'y ai réfléchit pendant une heure): si je prends la fonction inverse sur [0;1], il n'existe aucune valeur G qui respecte f(G)=G.
C'est seulement avec la fonction f(x)=x ???

Pourriez vous m'aider SVP

Merci d'avance
A très bientôt
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Une remarque sur la fonction inverse : elle est définie sur ]0;1].
Et pour cette même fonction, que penses-tu de 1 comme point fixe ?
1/1 ne serait-il pas égal à 1 ?

On te demande de rester très générale et toute fonction continue de [0;1] sur [0;1] admet un point fixe.
Sais-tu utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Duke.

[inviteda3529a9]

je ne vois pas vraiment, par l'absurde ???
^^ admettons alors la fonction 2x+1

Pourriez vous m'aider svp

[erik]

admettons alors la fonction 2x+1

Cette fonction n'est pas "continue de l'intervalle [0;1] dans l'intervalle [0;1]", elle est continue de [0,1] dans [1,3]. C'est pas pareil.

Essaye de dessiner une fonction "continue de l'intervalle [0;1] dans l'intervalle [0;1]" sans que tu n'aies jamais f(a)=a (avec a dans [0,1])

Et revient sur le théorème qu'on te demande d'appliquer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

pourriez vous m'aider d'avantage dans la démonstration svp.
doit on démontrer la propriété par l'absurde ?

[inviteda3529a9]

Pouvez vous m'aider à le montrer svp ?

[invite6c568dd3]

Tu pourrais essayer d'appliquer le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires (theorème de Bolzano) à la fonction h(x)=f(x)-x de [0 , 1] dans
[-1 , 1] et voir qu'il existe g dans [0 , 1] ou h(x) s'annule.