etude d'une fonction rationnelle

[invitef536e962]

Bonjour, j'ai un DM a faire qui me pose quelques difficultés
voici l'énoncé ;

On considère la fonction f définie sur ] - 1 ; + l'infini [ par
f(x) = x3 + 2x² +4 / (x+1)²
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O;i;j ) d'unité 2 cm.
a) Montrer qu'il existe 3 réels a, b, et c tels que pour tout x de ] - 1 ; + l'infini [, f(x) = a*x + b/(x+1) + c/(x+1)²
Comment je démarre ?

on arrive bien au fait que le numérateur est bien égal à a*x*(x+1)² + b*x + b+c= a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c

Ensuite, on cherche les valeurs de a, b et c telles que [a*x3 + (a+b)*x + b+c] / (x+1)² soit égal à F(x) pour toutes les valeurs de x.

Il s'avère que cette égalité revient en fait à chercher les valeurs de a, b et c telles que a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c = x3 + 2x² +4

après je bloque;;;
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[Jeanpaul]

Tu dis que les termes en x^3 à gauche sont les mêmes que celui à droite, pareil en x², x et constant. Ca s'appelle identifier : 2 polynômes sont identiques seulement quand tous les coefficients sont les mêmes.

[invitef536e962]

mais je ne sais pas identifier ..

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Pour des équations comme ça tu devrais vraiment utiliser l'outil LaTeX du forum...

Si je comprends bien tu as la fonction:



Et tu cherches les réels a, b et c tels que que:



Pour ce faire tu mets le second membre de l'équation précédente sur le même dénominateur, et c'est là que ça bloque.

Ensuite, on cherche les valeurs de a, b et c telles que [a*x3 + (a+b)*x + b+c] / (x+1)² soit égal à F(x) pour toutes les valeurs de x.

Ton numérateur est visiblement faux: il n'y a pas de terme en x². Recalcule le. Ensuite tu identifies terme à terme, comme JeanPaul te l'a dit.

Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef536e962]

numérateur = ax au cube +2x²+x+bx+c / (x+1)² ???

[invite2cc04abc]

Bonjour

Certainement pas.

Développe voir a(x²+x+1) + b(x+1) +c

[invitef536e962]

a(x²+x+1) + b(x+1) +c
ax²+ax+a+bx+b+c

[Jeanpaul]

Personnellement, j'aurais écrit que (x+1)² = x² + 2x +1
A part ça, le développement de départ était OK.
Regroupe les termes en x^3 : c'est x^3 d'un côté et a x^3 de l'autre, donc a=1
Les termes en x² : à gauche, c'est 2 x², à droite c'est 2 a x² donc a=1, on savait déjà.
Et on continue...

[invite2cc04abc]

Personnellement, j'aurais écrit que (x+1)² = x² + 2x +1
A part ça, le développement de départ était OK.
Regroupe les termes en x^3 : c'est x^3 d'un côté et a x^3 de l'autre, donc a=1
Les termes en x² : à gauche, c'est 2 x², à droite c'est 2 a x² donc a=1, on savait déjà.
Et on continue...

Personnellement, moi aussi si j'avais relu mon message

[Plume d'Oeuf]

on arrive bien au fait que le numérateur est bien égal à a*x*(x+1)² + b*x + b+c= a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c

Jusque là tout va bien en effet, c'est la suite qui ne va pas:

Ensuite, on cherche les valeurs de a, b et c telles que [a*x3 + (a+b)*x + b+c] / (x+1)² soit égal à F(x) pour toutes les valeurs de x.

Et qui redevient juste la ligne d'après:

Il s'avère que cette égalité revient en fait à chercher les valeurs de a, b et c telles que a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c = x3 + 2x² +4

Continue ton développement du membre de gauche, puis regroupe suivant les puissances de x.

Ce qu'on entend par "identification terme à terme" découle de la propriété suivante: deux polynôme d'ordre n sont égaux si leurs coefficients sont égaux.

En clair ce qui multiplie doit être égal à droite et à gauche de l'équation (k=0,1,2,3 ici). Jeanpaul te propose donc de poser un système d'équations portant sur a,b et c pour les déterminer.

Bon courage.

[invitef536e962]

a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c = ax au cube +2ax²+ax+bx+c=
ax au cube +2x²+(a+b)x+c ..
vraiment j'y arrive pas

[invitef536e962]

?personne ?

[Jeanpaul]

Reprends ton développement et range les termes par puissances décroissantes de x.
Terme en x^3 : à gauche : a x^3, à droite 1. x^3 donc a vaut 1
Terme en x² : à gauche 2 a x², à droite 2 x² donc 2a = 2
Terme en x : à gauche (a+b) x, à droite zéro, donc a+b = 0
Terme constant : à gauche (b+c), à droite 4 donc b+c=4

Ca doit rouler, non ? Simplement, prends soin de ranger les termes et de les regrouper.

[invitef536e962]

ok mais après ce que tu as fait , faut que je fasse un système d'équations ? si oui comment ?

[invite2cc04abc]

Ce qu'on essaye de te faire comprendre, c'est que pour égaliser un polynôme, chaque puissance de part et d'autre de l'équation doit avoir le même coefficient. Exemple:



Pour que cette égalité soit vraie, il faut que :

a=25
b=0 car il n'y a a pas de terme en puissance 3 dans le polynôme à identifier.
c=3
d=3
e=2

Ceci est un exemple simple car tous tes coefficients sont directement identifiables. Mais parfois, tu n'en as que deux et là effectivement tu dois faire un système d'équations pour le résoudre.

Exemple:



ton système sera alors:

a=4
a+b=2
c+d=1
e=1

[invitef536e962]

a= 1
a+b=0
b+c=4

[invite2cc04abc]

Reprends ton développement et range les termes par puissances décroissantes de x.
Terme en x^3 : à gauche : a x^3, à droite 1. x^3 donc a vaut 1
Terme en x² : à gauche 2 a x², à droite 2 x² donc 2a = 2
Terme en x : à gauche (a+b) x, à droite zéro, donc a+b = 0
Terme constant : à gauche (b+c), à droite 4 donc b+c=4

Ca doit rouler, non ? Simplement, prends soin de ranger les termes et de les regrouper.

voilà, c'est ce que Jeanpaul voulait te montrer il ne te reste plus qu'à déterminer b et c et tu auras ton expression

[invitef536e962]

a= 1
b = -1
c = 5

juste ? après il faut que je cherche les limites de f aux bornes de son ensemble de définition ]-1: + l'infini [
comment je fais ? lim -1 ? lim + l'infini ?

[invite2cc04abc]

Tu cherches la limite de ta fonction aux deux bornes. Pour cela tu va t'aider de la forme développée de ta fonction.

pour + infini c'est simple, ax tends vers +infini et le reste tend vers 0.
pour -1, tu te trouves dans un cas d'indétermination infini - infini. Il va falloir bidouiller pour lever cette indétermination

[invitef536e962]

lim -1 = 0 ?
lim + l'infini = lim 5/(x+1)² pour x tendant vers + l'infini
donc pour fonction inverse =0
pour fonction caréé = + l'infini ?

[invitef536e962]

???????????????????

[Jeanpaul]

En -1 c'est le plus simple, tu pars de l'expression de départ. Vers quoi ça tend au numérateur (pas de piège) ? Et le dénominateur tend vers 0 en restant positif, ce n'est pas une forme indéterminée.