etude d'une fraction rationnelle
Bonjour tt le monde, j'ai un dm de maths et je ne comprends pas trop la derniere question !! est-ce ke vs pourriez m'aider , merci d'avance.
Je ne comprends pas la derniere question.
Exercice:
f est une fonction rationnelle définie sur IR-{2} par : f(x)=(X²-x)/(x-2)
Cf est sa courbe représentative ds le repere (o;i,j).
Objectif
trouver trois réels a,b,c tels que, pour tous x de IR-{2} :
f(x)= ax+b+(c/x-2)
puis étudier la position de Cfpar rapport à la droite d'équation y= ax+b
1. La forme à obtenir pour f(x) est assez différente de celle qui est donnée par la définition de f. En effet, f(x) est donnée sous forme d'un quotient, ce qui n'est pas le cas pour ax+b+(c/x-2).
On peut alors penser a transformer l'expression ax+b+(c/x-2) en réduisant au meme denominateur afin d'obtenir un quotient.
a) Effectuez cette opération, puis réduisez le polynôme obtenu au numérateur.
b) Vérifiez que l'objectif revient à trouver trois réels a,b,c tels que, pour tout x différent de 2,
(x²-x)/(x-2)= (ax²+(b-2a)x+c-2b)/(x-2)
2. Les expressions des denominatuers sont les mêmes. Pour obtenir l'égalité souhaitée, il suffit donc que, pour tout x différents de 2,
x²-x = ax²+(b-2a)x+c-2b
Or si les coefficients de deux polynomes sont égaux entre eux, ces polynomes sont égaux.
a) Ecrivez le système qui traduit l'égalité de ces coefficients.
b) Déterminez alors a,b,c.
3. Pour savoir si Cf est au dessus de la droite d'équation y= ax+b, il faut comparer deux nombres, vous savez que le mieux est souvent d'étudier le signe de leur différence. Notons h(x) la différence :
h(x)= f(x)-(ax+b)
Vous disposez de deux formes de f(x): celle donnée dans l'énoncée et celle obtenue dans la question 2.
a) Choissisez la forme la plus adaptée et calculez la différence h(x).
b) Etudiez le signe h(x), puis concluez.
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