L'équation...tan(x)=x

[invite78eb52a2]

Quelles sont les solutions de l'équation tan(x)=x sur [0;3.14]
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[danyvio]

Quelles sont les solutions de l'équation tan(x)=x sur [0;3.14]

Solution évidente : tan(0)=0
Je ne pense pas qu'il y en ait d'autre... cat tan croit plus rapidement que x (voir le développement limité de tan.
Ajout : peut être vers pi/2 ...

[invite78eb52a2]

merci pour votre réponse .

[Plume d'Oeuf]

Bonsoir,

Il n'y a qu'à poser:

f(x) = tan(x) - x
f définie sur ]-pi/2; pi/2[
f'(x) = tan²(x)

La dérivée de f est strictement positive (sauf en 0) donc l'écart entre la fonction tangente et la fonction identité est strictement croissant (sauf en 0).

Comme f(0) = 0, alors f est strictement négative quand x est négatif, et strictement positive quand x est positif.

Autrement dit la valeur absolue de l'écart entre la fonction tangente et l'identité est toujours différente de 0 sauf en x=0; l'équation f(x) = 0 n'admet que 0 pour solution.

Il doit manquer quelques hypothèses (et quelques étapes) pour que ce raisonnement soit tout à fait correct, mais je pense qu'en terminale on peut s'en contenter.

Bonne continuation!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78eb52a2]

oui cé vrai j'ai oubliée que x=]-pi/2; pi/2[ ... oui cé ça la réponse merci beaucoup ...et Ce texte est celui de l'exercice :
f est définie sur ]-pi/2; pi/2 [
f(x)=2tan(x)+1
y=2x+1
Étudier la situation des deux courbes