Complexe

[invite69fdbc46]

Bonjour mes amis,
J'ai des questions sur les nombres complexes et géometire que j'ai pas pu savoir les bonnes réponses:
1) Soit z₀ une racine n-ième de l’unité(z₀≠1) et soit S=1+2* z₀ +3* z₀²+…+n z₀^n-1 Alors :
*S=n/( z₀-1)
*S=1/( z₀-1)
*S=1/( z₀ⁿ-1)
*S=n/( z₀ⁿ-1)
Pour moi,S= série entiére R=1??????

2) Le plan est menu d’un plan orthonormé(O,U,V) .
Soit f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le plan M’ d’affixe z’ telle que z’=(1+i)z+i et g=Sᴏf ou S est la symétrie orthogonale d’axe (O,U) ).Alors g est une :
*Symétrie orthogonal
*Symétrie glissante
*Homothétie
*Similitude Indirecte

j'ai aucune proposition pour cette question
j'attend vos proposition
Merci
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[invitea3eb043e]

Pour le 1er exo, on voit tout de suite qu'il est stupide d'envisager un z0^n - 1 au dénominateur car cette quantité est nulle.
Ensuite, pour y voir, il suffit de multiplier la somme par (1-z0) et on voit que ça s'arrange bien, surtout si on se souvient d'une propriété des racines nièmes de l'unité.

Pour le second, il est opportun de regarder quels sont les points invariants par f et de changer d'origine pour prendre ce point comme origine.

[invite69fdbc46]

Bonjour,
1)j'ai pas trouvé la solution Jean Paul
quant j'ai multiplié par (1-z₀),j'obtient
z₀+z₀²+...+z₀^n-1+nz₀ⁿ-1
=+nz₀ⁿ-1
et aprés???
2)J'ai pas compris votre réponse
Pour moi,je pense qu'elle est symétrie glissante c vrai ou non??

Merci bcp

[invitea3eb043e]

Tu as oublié 1 devant et le fait que z0^n=1 et aussi que 1 + z0 + z0² +z0^(n-1) = 0.
Alors ça s'arrange admirablement et il reste - n

L'autre exo : on voit aisément que si z'=z c'est que z=-1
D'où le changement de variable Z = z+1 et Z' = z'+1
Quelle relation entre Z et Z' ? Comment l'interpréter ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69fdbc46]

bonjour
quand j'ai multiplié par 1-z₀ j'ai trouvé ceci:
-(1+z₀+z₀²+............+z₀^(n-1))+nz₀ⁿ
et pius q'est ce que je vais faire....
pour la deuxieme question je ne vis pas une relation entre z est z'

[invitea3eb043e]

Ta parenthèse vaut zéro. Remultiplie-la par (1 - z0) et tu verras.

Pour l'autre exo : z' = (1+i)z + i
On voit que le point invariant (z' = z) est le point z=-1
Alors tu poses Z = z +1 et Z' = z' + 1
Tu en déduis trivialement que Z' = (1+i) Z, ce qui est une homothétie de centre d'affixe z=-1

[invitea9f6b401]

Bonjour;
quand j'ai multiplié par (1-z₀) j'ai trouvé (1+z₀+.........+z₀^(n-1))-(z₀+.........+z₀ⁿ)=1-
z₀ⁿ

et aprés je n'ai pas d'ideé...
pourquoi 1+z₀+.........+z₀^(n-1)=0

[invitea3eb043e]

Mais ton z0 à la puissance n, il vaut 1, puisque c'est une racine nième de l'unité, donc la différence vaut zéro.

[invite69fdbc46]

bonsoir,
je sais que z₀ⁿ -1=0
J'ai pas pu trouvé la bonne réponse,pouvez vous me donner votre calcul.J'ai trouvé bcp de difficulté

Merci

[invitea3eb043e]

bonjour
quand j'ai multiplié par 1-z₀ j'ai trouvé ceci:
-(1+z₀+z₀²+............+z₀^(n-1))+nz₀ⁿ
et pius q'est ce que je vais faire....
pour la deuxieme question je ne vis pas une relation entre z est z'

Tu remplaces la parenthèse par zéro et z0^n par 1 et tu trouves n, ce qui répond à la question. La réponse, c'est n/(z0-1)

[invite69fdbc46]

Bonjour;
merci tres bien Jean Paul; ma question maintenant:
si tu as z ⁿ=1 donc 1+z+z²+.......+z^(n-1)=0
pouvez m'affirmez monsieur;merci d'avence..

[invitea3eb043e]

C'est vrai, sauf évidemment si z vaut 1, qui est aussi une racine n ième de l'unité.

[invite69fdbc46]

Bonsoir,
J'ai des autres questions que je voudrais que vous m'aider:

1)Soit M(z),M'(z') tq z'=1/z" avec z" est z bare(désolé j'ai pas pu l'ecrire z bare) alors:
*les points O,M,M' sont alignés
*les points M,M' sont symétriques % (O,x) axe des abscises
*(OM) est perpondiculaires sur (OM')
Pour moi:
z'=1/z"=1/(x-iy)= x/(x²-y²) + i y/(x²+y²) et aprés???

2)On considére l'équation
=
Alors les points images des solutions de cette équation sont:
*sur un même polygone régulier
*sur l'axe des abscises
*sur un même cercle
j'ai pas d'idée

3)Soit f(z)=z²+1.Est ce que f est surjective??

Merci

[invite69fdbc46]

SALUT
estce qu'il ya quelqu'un qui m'aide....un grand remerciement...

[invite69fdbc46]

BONJOUR
pour la premiere question;j'ai trouvé les points O;M et M' sont alignés;les deux autres questions j'ai trouvé beaucoup de difficultés....merci

[invitea3eb043e]

Les complexes, ça consiste à jongler avec les 2 représentations possibles :
- cartésiennes avec x + i y
- polaires avec module et argument.
Ce qui est facile d'une manière est en général inextricable de l'autre.
Pour le second exo, comment s'écrit le second membre en polaires : module ? argument ?
Appelle X la parenthèse à gauche. Appelle rho son module et phi son argument. Que peux-tu écrire sur rho et phi ? Conclus.

Pour le dernier, la relation est-elle bijective si on travaille seulement sur les réels ?

[invite69fdbc46]

Bonjour
Jean paul j'ai trouvé des difficultés de calcul dans les 2 et 3 questions.....vraiment j'ai passé a l'ecriture polaire;je n'ai rien trouvé....vous pouvez m'aider dans le calcul...merci

[invitea3eb043e]

Regarde bien la question 2, tu vois bien que si tu écris z=x + i y, tu vas devenir fou à élever à la puissance 2008.
Donc, il vaut mieux passer à une alternative : la représentation polaire.
Quel est le module du complexe de droite ? Son argument ?
Ensuite, la parenthèse de gauche, si tu appelles rho son module et phi son argument, que vaut la puissance 2008 de cette parenthèse ? Tu dois en déduire la parenthèse, qui peut avoir 2008 valeurs différentes (les racines 2008 ièmes de l'unité).
Ca ressemble un peu à l'exo d'avant.
Ensuite, on peut calculer z, c'est assez facile quand on a calculé la parenthèse.

Pour le 3ème exo, existe-t-il toujours des solutions à z²+1 = C quand C et z sont complexes ?

[invite69fdbc46]

Bonsoir JeanPaul,
J'ai pas compris ta réponse sincérement.Peux tu m'expliquer pas à pas
Merci

[invite69fdbc46]

Bonjour,
pour le 2) J'ai posé z=x+iy
[]²⁰⁰⁸=exp()
d'apres je suis bloqué
Pour le 3),A mon avis;chaque complexe a un antécédent par f-->surjective

[invite69fdbc46]

Bonjour
merci jean paul pour votre aide;vous pouvez m'aider de plus par un calcul ;j'ai trouvé un grand probleme dans le calcul...

[invitea3eb043e]

Dis que ton quotient (z - i rac(3))/(z+i rac(3)) est un complexe dont le module est rho (réel >0) et l'argument a, que tu vas chercher.
Le terme de droite, c'est exp(i pi/3) et pas pi/2
Donc tu as à résoudre rho^2008 = 1
2008 . a = pi/3 + 2 k pi
Pas trop dur, non ?
Ensuite, connaissant la valeur de ton quotient, tu en déduis z, c'est tout. Il faut faire un peu de cosmétique pour que ce soit joli, notamment en ne laissant pas de complexe au dénominateur (multiplier par le complexe conjugué).
C'est très facile aussi de manière géométrique.

Pour le 3, OK, je pense.