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Exercice sur les complexes, Terminale S



  1. #1
    Surtur

    Exercice sur les complexes, Terminale S


    ------

    Bonjour à tous !

    Je suis en train de devenir fou avec une série d'exercices sur les complexes. Je me tourne vers vous en espérant trouver un peu d'aide.

    Exercice 1 :
    Soient les nombres complexes z1 = (1 + i)2 / (1 - i)3 et z2 = (2i - 2√3) / (4i + 4).

    Ecrire z1 et z2 sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique.

    Exercice 2 :
    On considère le nombre complexe z tel que z = (√6 + √2) + i(√6 - √2).

    1) Calculer z2.
    2) Déterminer le module et un argument de z2.
    Déduire alors le module et un argument de z.
    3) Déterminer les entiers n tels que zn soit un imaginaire.


    Exercice 3 :
    Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v) (unité graphique : 2 cm).

    On appelle A, B et C les points d'affixes respectives 2i ; 1 ; et 1/2 + √3/2 i.

    Soit R la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que :
    z' = eiπ/3z.

    1)Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette transformation.
    2) Soit (T) l'ensemble des points M d'affixe z tels que : |z - 2i| = 2.
    a) déterminer et construire (T).
    b)Déterminer et construire l'image de (T) par la transformation R.
    3) Soit (D) l'ensemble des points M d'affixe z tels que : |z - 1|= |z - 1/2 - √3/2 i|.
    a) Déterminer et construire (D).
    b) Déterminer et construire l'image de (D) par R.


    Là où j'en suis :

    Exercice 1 :
    Je bloque dès le début. On m'a conseillé de mettre √2 en facteur pour (1 + i) et (1 - i) puis de déterminer la forme exponentielle de z1, mais pourquoi √2 ?

    Exercice 2 :
    Là, après calcul, j'arrive à :
    z2 = ((√6 + √2) + i(√6 - √2))2 = (√6 + √2)2 + (√6 - √2)2 + 2i(√6 + √2)(√6 - √2) = 8 + 4√3 + 8 - 4√3 + 8i = 16 + 8i ;

    Avant de poursuivre, j'aimerai savoir si j'ai fait ou non des erreurs ou si, au moins, je suis dans la bonne voie.

    Et pour l'exercice 3, je pense pouvoir à peu près me débrouiller, mais des conseils sont les bienvenus.


    Je suis tout à fait conscient que vous n'avez pas forcément envie de vous pencher là-dessus, mais je dois dire que j'ai déjà recommencé plusieurs fois et que ça commence à vraiment me fatiguer. Je remercies d'avance tout ceux qui s'intéresseront à mon problème et m'apporteront leur aide.

    -----

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  3. #2
    chachon

    Re : Exercice sur les complexes, Terminale S

    Bonjour,

    est le module de 1+i et de 1-i et sert à determiner la forme trigo de z1.
    1+i=
    =
    =
    et ainsi de suite.

  4. #3
    prgasp77

    Re : Exercice sur les complexes, Terminale S

    Pour l'exercice 1, multiplie le numérateur et le dénominateur de z1 par (1+i)3. Utilise ensuite l'identité remarquable qui va bien, et développe le numérateur

    Ça devrait t'aider pour z2.
    --Yankel Scialom

  5. #4
    Surtur

    Re : Exercice sur les complexes, Terminale S

    Merci beaucoup pour vos réponses.

    Prsgasp77, j'ai fait comme tu as dit. J'obtiens :
    z1 = (-4i - 4)/6.

    Est-ce que le calcul est juste ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Surtur

    Re : Exercice sur les complexes, Terminale S

    Après un long et fastidieux travail, je pense être finalement arrivé au bout des deux premiers exercices
    Encore une fois, merci pour votre aide.

    Juste une question concernant la dernière question de l'exercice 2 : comment dois-je procéder pour déterminer les entiers n tels que zn soit un imaginaire ?

    Par contre, j'ai encore un peu de mal avec l'exercice 5. A la première question, j'ai répondu que la transformation R était la rotation de centre O et d'angle π/3 (c'est bien ça ?). Mais à partir de là, ça coince. Comment dois-je faire pour construire (T) et (D) ?

  8. #6
    chachon

    Re : Exercice sur les complexes, Terminale S

    Pour 2.3) arg(z^n)=n.arg(z), pour que z^n il faut que n.arg(z)=pi/2 + k.pi

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