Exercice sur les complexes, Terminale S

[inviteab0994ec]

Merci beaucoup, j'ai pu m'en sortir pour mes exercices et je comprends beaucoup mieux la leçon maintenant.

En revanche, je bloque un peu sur la suite, qui aborde la question des nombres complexes.

En effet, on me donne comme question : déterminer et représenter dans un repère orthonormal l'ensemble des points M d'affixe z tels que le nombre Z = (2 - z)(i + z) (le dernier "z" a une barre au dessus, c'est le conjugué du nombre z).

1) Soit réel.
2) Soit imaginaire.


Je suppose que l'énoncé signifie que je dois faire d'abord comme si z est réel, puis comme si z est imaginaire. C'est bien ça ?

Mais comment dois-je m'y prendre ? J'ai développé Z = (2 - z)(i + z) mais je fini par bloquer.


Donc si quelqu'un peut me mettre sur la voie...
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[invite15928b85]

Bonjour.

Développez Z en posant z = x+iy et séparez les parties réelle et imaginaire du résultat

[inviteab0994ec]

Bonjour, et merci de me venir en aide (désolé de ne pas avoir pu répondre plus tôt).

Je reste assez confus quant à la marche à suivre

J'ai commencé par considérer que Z était réel. J'ai donc considérer que z était égal à son conjugué (et donc à x + iy). Cependant, je suis bloqué à un moment du développement.

Qu'entendez vous par séparer la partie réelle et imaginaire du résultat ? Je doit séparer tous les facteurs contenant i des autres ?

[Jon83]

Bonjour!
Tu as dû poser .
Lorsque tu développes Z, tu peux écrire:
Réel(Z)= tous les termes réels (sans i)
Imaginaire(Z)= tous les termes complexes (avec i)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab0994ec]

En suivant ce procédé, j'obtiens :

Réel (Z) = 2a - a² + b - b² ;
Imaginaire (Z) = 2i - 2ib - ai ;

Encore une fois, je vois mal comment obtenir l'ensemble des points M d'affixe z. Si j'ai bien compris, le but est d'obtenir deux ensembles de points M, l'un contenant des points réels, et l'autre imaginaire, c'est ça ? Mais comment les déterminer ?

[Jon83]

C'est bon pour Re(Z). Pour la partie imaginaire c'est Im(Z)=2-2b-a (il n'y a pas de i).
Pour que Z soit réel, il faut écrire que sa partie imaginaire est nulle; ça va te donner une équation où tu exprimeras b en fonction de a, et tu pourras conclure.
De même, pour que Z soit imaginaire, il faut que sa partie réelle soit nulle ....etc...

[inviteab0994ec]

Merci de tenter de m'aider, je sais que je suis pas forcément un cas facile

Mais là, je ne comprends pas. Je crois que ma confusion vient d'une mauvaise compréhension de l'énoncé de ma part :
Tout d'abord, l'affixe des points M, c'est z, pas Z, n'est-ce pas ?
Et qu'est-ce qui doit être réel dans un premier temps, puis imaginaire ? z? Z? M?


D'ailleurs, je coince aussi sur l'exercice suivant, dont l'énoncé est :

Dans le plan complexe, déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z (enfin, conjugué de z) + i| = 2.

Encore une fois, je suis perdu.

[Jon83]

Un exercice à la fois si tu veux bien... Et au lieu de dire que tu es un cas et d'être négatif, essaye de faire ce que l'on te dit dans nos conseils, sans t'éparpiller et en positivant! Les autres y arrivent, alors pourquoi pas toi?

Bon, cela dit, en effet, M est un point du plan et son l'affixe est bien z (un nombre complexe appartenant à C).
On te demande de trouver un ensemble de points M particuliers dont les affixes z vont vérifier la relation
Pour cela, tu as remplacé z par sa forme algébrique z=a+ib, où a représente la partie réelle de z (son abscisse dans le plan) et b sa partie imaginaire (son ordonnée dans le plan).
Une fois développée, tu as bien trouvé les parties réelles et imaginaires de ton expression (symbolisée par Z). OK?
Pour dire que cette expression est réelle, comme je te l'ai indiqué dans mon message précédent, il faut écrire que sa partie imaginaire est nulle.
Donc, si tu as compris jusque là, écris nous cette équation, et on continuera ensuite pas à pas...

[inviteab0994ec]

Bien, on a donc :

Im (Z) = 0 ;
2 - 2b - a = 0 ;
-2b - a = -2 ;
-2b = a - 2 ;

C'est ça ? Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris pourquoi on ne devait pas mettre de i dans la partie imaginaire.

[Jon83]

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris pourquoi on ne devait pas mettre de i dans la partie imaginaire.

Un nombre complexe z est composé:
- d'une partie réelle symbolisée par la lettre a et a est un nombre réel
- d'une partie imaginaire symbolisée par la lettre b (et non ib) où b est aussi un nombre réel
- l'écriture algébrique de ce nombre complexe est z=a+ib
Donc la partie imaginaire de z c'est la partie qui est multipliée par i; c'est donc b et pas ib...

Bien, on a donc :

Im (Z) = 0 ;
2 - 2b - a = 0 ;
-2b - a = -2 ;
-2b = a - 2 ;

Oui, c'est bien ça, mais il faut aller plus loin: si tu divises les deux membres par -2, tu obtiens
Ce type d'équation ne te rappelle rien?

[inviteab0994ec]

Un nombre complexe z est composé:
- d'une partie réelle symbolisée par la lettre a et a est un nombre réel
- d'une partie imaginaire symbolisée par la lettre b (et non ib) où b est aussi un nombre réel
- l'écriture algébrique de ce nombre complexe est z=a+ib
Donc la partie imaginaire de z c'est la partie qui est multipliée par i; c'est donc b et pas ib...

D'accord, merci beaucoup. C'est bien plus clair maintenant.


L'équation b = - a/2 + 1, ça ressemble tout simplement à une équation du type ax + b = c, non ? Mais ne connaissant ni la valeur de b, ni celle de a, comment on s'en servira ?

[Jon83]

Effectivement, c'est l'équation d'une droite de la forme y=mx+c où la pente m est égale à -1/2 et c, la valeur à l'origine égale à 1.
En conclusion, l'ensemble des points M d'affixes z=a+ib pour lesquels l'expression Z est réelle est la droite d'équation dont voici le graphe.

Ensuite, pour que l'expression Z soit imaginaire, il faut que tu écrives l'équation qui annule sa partie réelle. Donc, ça donne quoi?

[inviteab0994ec]

D'accord, je comprends le raisonnement.

L'image ne s'affiche pas mais j'ai été capable de dessiner la droite.

Pour que Z soit imaginaire, j'ai :
Re(Z) = 0 ;
2a - a² + b - b² = 0 ;
2a + b - b² = a² ;
b - b² = a² - 2a ;

Et à partie de là ?

[Jon83]

OK, mais on va écrire sous une autre forme pour faire apparaître une équation connue:
a²-2a+b²-b=0 ça ne te suggère pas quelque chose?

[inviteab0994ec]

Bon, à première vue, c'est pas une identité remarquable (tout du moins, pas sous cette forme). C'est peut-être une équation du second degrés ?

[Jon83]

En effet, c'est une équation du second degré et il faut faire apparaître des identités remarquables. Décomposons:



Tu dois maintenant reconnaître une équation du second degré bien connue dans le plan...

[inviteab0994ec]

Encore une fois, désolé, mais je vois pas du tout ce que je suis sensé faire. Je ne vois pas d'équation du second degrés dans (a - 1)² + (b - 1/2)² = 5/4.

[Jon83]

Et bien, il faut peut être réviser sérieusement tes cours de première se rapportant aux équations d'un cercle......
Tu peux également regarder http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle au chapitre "équation"
Ensuite, tu nous donnes tes conclusions!

[inviteab0994ec]

Effectivement, je n'avais pas du tout pensé à l'équation du cercle. Sans vouloir me chercher des excuses, je viens de commencer l'année et j'ai en effet bien besoin de me remettre dans le bain.

On a donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que le nombre Z soit imaginaire sur le cercle de centre A (1 ; 1/2) et de rayon √5/4.

J'ai fait la figure, j'essayerai de la scanner pour vous montrer.


En tout cas, merci beaucoup de votre patience.

[Jon83]

On a donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que le nombre Z soit imaginaire sur le cercle de centre A (1 ; 1/2) et de rayon √5/4.

"L'ensemble des points M d'affixe z tels que le nombre Z soit imaginaire est le cercle de centre A (1 ; 1/2) et de rayon √5/4"

Mais il faut aller au bout du calcul du rayon

[Jon83]

En tout cas, merci beaucoup de votre patience.

Les remerciements deviennent rares de nos jour; c'est sympa, on apprécie!
Je jette un coup d'oeil sur l'exercice suivant.

[inviteab0994ec]

Pour l'exercice suivant, j'ai tenté quelque chose. C'est peut-être pas la bonne technique donc j'aimerai avoir votre avis.

(je rappelle l'énoncé)

Dans le plan complexe, déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que |¯z + i| = 2.

Voilà ce que j'ai fait :

On a z = x + iy, avec x et y réels. On a donc ¯z = x – iy ;

D'où :
|¯z + i| = 2 ;
|x – iy + i| = 2 ;
|x – i(y + 1)| = 2 ;
|x – i(y + 1)|² = 2² ;
x² – (y + 1)² = 2² ;
(x – 0)² – (y - (-1))² = 2² ;

On reconnaît là l'équation du cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2.

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z tels que |¯z + i| = 2 est le cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2.

[Jon83]

(x – 0)² – (y - (-1))² = 2² ;

On reconnaît là l'équation du cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2.

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z tels que |¯z + i| = 2 est le cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2.

Bonjour!
C'est
Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que |¯z + i| = 2 est bien le cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2.
Voilà, tu as fini par y arriver tout seul!!!

[inviteab0994ec]

Bon, ben très bien. J'en suis arrivé au bout finalement !

Encore merci !