Système d'equations à deux inconnues

[zotchi52]

Bonjour !, alors voila je bloque carrément sur ce problème:

x³-x+y=0
y³-y+x=0

ça date du lycée, j'ai tout essayer mais je sais qu'il y a une astuce dedans. Si quelqu'un pourrait m'éclaircir le chemin ça serai vraiment agréable.
Merci d'avance !
-----

[invite19431173]

Salut !

J'ai trouvé !

Déja, la première équation, factorise par x. Et la seconde, factorise par y.

Ensuite, les deux membres de gauche sont égaux entre eux, car = 0.

Tu en déduis une expression de (x²-2)

Que tu remplaces dans la première équation, et zou, plus de x !

[epiKx]

Bonjour,
désolé benjy_star mais je ne comprends pas ta méthode en particulier les 2 dernières étapes. Pire, je pense qu'il y a une erreur. A l'avant-dernière étape on trouve en effet une expression de (x²-2) mais la première équation est factorisée de facteurs x et x²-1 On ne peut donc remplacer l'expression de x²-2 en enlevant les x!
Pourrait-tu détailler un peu plus ta méthode?
Personnellement, j'ai identifié une autre astuce:
Exprimer y en fonction de x dans la première équation, exprimer x en fonction de y dans la deuxième équation.
On obtient:
y= -(x³-x)
x=-(y³-y)
Soit maintenant la fonction f(t)=-t³-t avec t une variable quelconque.
On a donc:
y=f(x)
x=f(y)
Concrètement, cela veut dire que y est l'ordonnée du point x mais aussi l'abscisse de x, x est l'ordonnée et l'abscisse de y. Je ne connais qu'un seul nombre qui peut vérifier ces deux conditions avec notre fonction: 0.
Vérifions:Ce qui est expliqué plus haut se traduit par l'équation:
-(t³-t)=t (l'abscisse d'un point est égale à son ordonnée).
-(t³-t)-t=0
-t³+t-t=0
-t³=0
t³=0
t=0.
Donc: x=y=0.
Dernière vérification:
Remplacer x et y par 0 dans le système initial et vérifier les deux égalités: ça marche!
Amicalement,
epiKx.
remarque: La solution trouvée 0 est en fait triviale, on la trouve facilement en voyant le système d'équation initial.

[invite19431173]

Je confirme que j'ai bien fait une erreur !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite84eba484]

Bonjour,

je trouve les couples suivants solutions :

(0,0),(racine2,-racine2) et (-racine2, racine2)...

edit avec la notation (y,x)mais ça revient au meme

[invite84eba484]

j'oublié ma méthode:

d'abord j'additionne les deux équations, je trouve donc y^3+x^3=0

Ensuite je fais selon les valeurs de x,
pour x positif ou nul, on a x=-y.
pour x négatif ou nul, on a x=y.

Donc pour le premier cas on peut réecrire les équations : y(-y^2 +2)=0 d'où y=0, racine2,-racine2
dans le second cas, on a simplement y^3=0 soit y=0.

voila j'ai peut etre fait des erreurs, mais en remplacant les valeur trouver cela fonctionne apparrement :

par exemple (racine2,-racine2)

-2^3/2 +2^1/2 +2^1/2 = -2^3/2 +2^3/2=0