Continuité, dérivabilité et fonction ln(x)

[invited1947fec]

Bonsoir,

J'ai un petit exercice à faire sur les logarithmes népériens. Je vous mets l'énoncé et vous explique où je bloque ensuite...

Soit la fonction f définie par :
f(0) = 0
Quelque soit x ^+* - {1}, f(x) =

Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.


Continuité :

Pour montrer la continuité, je dois donc calculer la limite de f(x) en 0 quand x tend vers 0, or on sait que :



Donc on en déduit par quotient que :

et que la fonction f(x) est donc continue en 0.


Dérivabilité :

Pour cette partie là, la professeur nous a conseillé d'étudier la dérivabilité sur l'ensemble ]0,1[U]1,[, et c'est là que je bloque, je ne sais pas comme faire... il me semble qu'il y a un rapport avec la limite de la dérivée (je ne suis plus très sûr de l'écriture :

f'(x) =


Merci à ceux qui prendrons le temps de m'éclairer un peu ^^"
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[Seirios]

Bonjour,

Pour montrer que f est dérivable en 0, il suffit de montrer que admet une limite finie pour .

[invited1947fec]

D'accord, et quelle différence dois-je faire entre étudier la dérivabilité en 0 et sur l'intervalle ]0,1[u]1,[ ?
Il faut d'abord que je calcule la limite :



ou alors :



ou encore :

?

Ou bien il faut juste calculer celle que vous venez de me donner et en déduire la dérivabilité en 0 si cette limite existe ?

[Seirios]

Si la fonction f est dérivable sur I, et qu'elle ne s'y annule pas, alors 1/f est également dérivable sur I. Donc tu as juste à utiliser ce théorème pour f=ln pour la dérivabilité sur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1947fec]

Bonjour,

Je viens de me rendre compte que j'ai fais une erreur dans l'énoncé, l'ensemble de définition de f(x) n'est pas ^+* - {1} mais ^-* - {1} ...
Du coup ça doit sûrement tout changer ><

Sinon il me suffit de dire que g(x) = ln(x) est dérivable sur I (avec I = ^+* - {1}) à valeurs dans ^+* - {1} et donc que f(x) = 1/[ln(x)] est dérivable sur ^+* - {1} comme composée de fonctions dérivables ? ...

[invited1947fec]

Pour calculer la dérivabilité en 0 (a=0), je fais la limite suivante donc :

à moins que ça ne soit une forme indéterminée de la forme "", mais je ne vois pas trop comment lever l'indétermination...

[Seirios]

Je viens de me rendre compte que j'ai fais une erreur dans l'énoncé, l'ensemble de définition de f(x) n'est pas ^+* - {1} mais ^-* - {1} ...
Du coup ça doit sûrement tout changer ><

Tu es sûr qu'il te faut manipuler des logarithmes négatifs

Sinon il me suffit de dire que g(x) = ln(x) est dérivable sur I (avec I = ^+* - {1}) à valeurs dans ^+* - {1} et donc que f(x) = 1/[ln(x)] est dérivable sur ^+* - {1} comme composée de fonctions dérivables ? ...

On a plutôt g(I)=IR*, mais l'important est que cela ne s'annule pas.

Pour calculer la dérivabilité en 0 (a=0), je fais la limite suivante donc :

à moins que ça ne soit une forme indéterminée de la forme "", mais je ne vois pas trop comment lever l'indétermination...

Pourquoi f(a+h)-f(a)=f(0)-f(0) ? Tu as .

[invited1947fec]

Bonsoir,

Tu es sûr qu'il te faut manipuler des logarithmes négatifs

Effectivement, c'est impossible, je suis tellement étourdi que je n'arrive même pus à lire un énoncé correctement, à moins que j'ai besoin de lunettes... mais j'aurai réfléchi un peu je me serais bien rendu compte que ce n'était pas possible...


Au final j'ai fini par y arriver (du moins j'espère), je vais tout reprendre depuis le début :

Soit la fonction f définie par : sur ^+* - {1} et f(0) = 0


On a :

Par quotient on en déduit :


La fonction f(x) est donc continue en 0. Donc f(x) est dérivable (donc continue) sur ^+* - {1} comme inverse d'une fonction dérivable () et non nulle.

Pourquoi f(a+h)-f(a)=f(0)-f(0) ? Tu as .

C'est vrai, là aussi je devais pas être réveillé... (ou plutôt je devais être endormi...), puisque c'est seulement a qui vaut 0, et non pas h...


J'ai donc :


Or on sait que : et que (car sur ]0;1[)


Donc par quotient :


La fonction f n'est donc pas dérivable en 0.


Je pense que c'est bon cette fois ^^ Merci beaucoup pour votre aide en tout cas, voilà au moins quelque chose que je saurai faire pour le BAC Blanc...

[Seirios]

La fonction f(x) est donc continue en 0. Donc f(x) est dérivable (donc continue) sur ^+* - {1} comme inverse d'une fonction dérivable () et non nulle.

Fais attention : lorsque tu parles de la fonction, il faut écrire f et non f(x), qui est un nombre.

Donc par quotient :

Comment peux-tu écrire f'(0) alors que tu montres que la dérivée en zéro n'existe pas ? Il faut simplement dire que la limite n'existe pas.

[invited1947fec]

Fais attention : lorsque tu parles de la fonction, il faut écrire f et non f(x), qui est un nombre.

D'accord, j'y penserai, j'ai pris cette mauvaise habitude...

Fais attention : lorsque tu parles de la Comment peux-tu écrire f'(0) alors que tu montres que la dérivée en zéro n'existe pas ? Il faut simplement dire que la limite n'existe pas.

C'est vrai que c'est un peu étrange quand on y pense ^^ Merci pour ces quelques précisions