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ln,exp et suite!




  1. #1
    Jarod
    Bonsoir!

    J'ai un ptit exo de maths mais ça coince alors j'ai besoin de vous.

    1.Montrer que,pour tout x positif,on a x-(x²/2)<ln(1+x)<x

    2.En déduire la limite de la suite u définie sur N par Un=(1+(1/n²))(1+(2/n²))...(1+(n/n²))

    Voilà!
    Merci.

    -----

    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

  2. Publicité
  3. #2
    Marc
    Citation Envoyé par Jarod
    1.Montrer que,pour tout x positif,on a x-(x²/2)<ln(1+x)<x
    1. Pour l'inég de gauche, tu prends f(x) = ln(1+x) - x + x²/2
    En étudiant la fonction (dérivée, sens de var ...), on trouve qu'elle est tjs positive.
    Pour l'inég de droite, pareil avec x - ln(1+x), sauf que c'est même + simple en calcul

    Citation Envoyé par Jarod
    2.En déduire la limite de la suite u définie sur N par Un=(1+(1/n²))(1+(2/n²))...(1+(n/n²))
    2. Comme y'a marqu" "en déduire", au hasard je prendrais le Ln de la suite, pour avoir une SommeSurKde Ln(1+k/n²).
    Grace à 1, tu encadres cette série en sommant les inégalités, et le tour est joué ! De tête, ça fait 1/2, donc en repassant à Un, on doit trouver exp(0.5)

    Marc

  4. #3
    Marc
    Oué gagné, ma calculette me dit que c'est bien ça !

    Marc, qui ne se trouve pas si rouillé que ça ...


  5. #4
    Jarod
    Salut!

    Pour la première pas de probleme

    Mais pour la 2e pourrait-tu expliquer un peu plus en détaille?
    Enfin moi pour l'encadrement je trouve:k/n²-k²/2n^4<ln(1+k/n²)<k/n²:je pense que c faux mais je vois pas...

    Merci quand meme!
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

  6. #5
    Marc
    Citation Envoyé par Jarod
    Enfin moi pour l'encadrement je trouve:k/n²-k²/2n^4<ln(1+k/n²)<k/n²:je pense que c faux mais je vois pas...
    Non tu as juste jusqu'ici.

    Maintenant tu sommes cette inégalité :

    Il faut dire que SommeDe(k, k=1àn) = n*(n+1)/2
    Comme en fait c'est k/n², ben ça fait (n+1)/(2n), donc ça tend vers 1/2

    et que SommeDe(k^2, k=1àn) = n*(n+1)*(2n+1)/6
    Comme c'est k²/(2n^4), ben là ça fait (n+1)*(2n+1)/(6n^3), donc ça tend vers 0

    Du coup, l'inég de gauche et de droite (après avoir fait la somme) tendent toutes les deux vers 1/2 !!

    C'est + clair ?

    Marc
    Correction de balise Coincoin

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jarod
    Ok,merci quand meme car j'ai pas eu le temps de revenir sur le forum avant le jour fatidique...mais un copain avait trouvé
    Et le prof a donné la correction.
    @ une prochaine fois sûrement!

    P.S:Et j'ai compris!
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