Exo de dérivabilité
Bonjour,
pour f(x) = { cosx si x < a et sinx si x >/= a
je trouve que f est dérivable si a = pi/4, or la réponse donné par mon livre est que f n'est jamais dérivable... et je ne comprends pas pourquoi.
Quelqu'un saurait m'expliquer svp?
Merci d'avance!
Pour que la fonction soit dérivable en a, il faut déjà qu'elle y soit continue, donc :
cos(a) = sin(a)
Ensuite que les dérivées soient les mêmes :
-sin(a) = cos(a)
Seule solution ; sin(a) = cos(a) = 0
Impossible !
Bonsoir,Envoyé par Jeanpaul
Une fonction dérivable en un point est continue sur ce point, la réciproque est fausse.
A bientôt,
Alexis
Ben, c'est ce que j'ai dit, non : il faut qu'elle soit continue, je n'ai pas dit "il suffit".
Je ne suis pas d'accord...
Tu dis :
"Pour que la fonction soit dérivable en a, il faut déjà qu'elle y soit continue"
Ce qui est l'inverse de :
"ne fonction dérivable en un point est continue sur ce point"
Bonjour,
Je suis de l'avis de Jeanpaul, pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut qu'elle y soit continue. C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
Pour moi ce n'est pas l'inverse, mais l'équivalent.
Bonne journée.
Bonjour,
Tu supposes donc que la continuité est une condition nécessaire à la dérivabilité ?
Bonne Journée,
Alexis
Je ne le suppose pas, je l'affirme. D'ailleurs ton message #3 le confirme:
Ce n'est pas une condition suffisante cependant (comme jeanpaul l'a mentionné), et la réciproque n'est pas vraie.
Bonjour,
Ok... donc selon toi :
"la continuité est une condition nécessaire mais non suffisante à la dérivabilité"
La fonction racine carrée qui est continue en 0 et non dérivable en 0 est pourtant un contre exemple à ton affirmation ?
@+
Alexis
La fonction racine carrée n'est en rien un contre exemple à mon affirmation: sa continuité en 0 n'implique pas sa dérivabilité (la condition de continuité n'est pas suffisante pour impliquer la dérivabilité), mais sur l'intervalle où elle est dérivable, elle est nécessairement continue (la condition de continuité est nécessaire à la dérivation).
Nous disons la même chose depuis le début, mais je crois que tu fais un amalgame entre nécessaire et suffisante.
En gros, pour pouvoir différencier une fonction, il est nécessaire que des petites variations de la fonction soient autorisées, mais il ne suffit pas que ces petites variations soient autorisées pour qu'on puisse la différencier.
C'est plus clair?
je suis tout embrouillé...
C'est effectivement source de confusions.
L'idée est la suivante : si f est dérivable en x=a, alors, NECESSAIREMENT, f est continue en a. La continuité est donc une condition NECESSAIRE.
Dire que la condition est suffisante serait dire : il suffit que f soit continue en a pour y être dérivable et, là, c'est faux.
