Exercice Géométrie 1erS sur le produit scalaire

[invite302e61f3]

Voilà l'énoncé: Deux carrés OABC et ODEF de cotés réspectif 3 et 2 sont disposés comme l'indique la figue que j'ai faite. Le but de l'exercice est de démontrer que ( OM ) perpendiculaire à ( DC ).

a ) Pourquoi vecteur OM.DC = OA.DO + OF.OC ? ( je parle toujours en vecteurs.
b ) En déduire que ( OM ) et ( DC ) sont perpendiculaires.

Pour le a )

OM.DC = ( OF + FM ).( DO + OC )
= OF.DO + OF.OC + FM.DO + FM.DC relation de Chasles

Or ODEF carré, donc OF orthogonal à DO, et OF.DO = 0

Je sais qu'il faut ensuite que je montre que FM.OC = 0 mais je ne vois pas. Ils ne sont pas orthogonaux, si ?

Ensuite j'ai : OM.DC = OF.OC + FM.DO

Il faut que je montre que OAFM rectangle, comme cà je sais que OA = FM et donc j'aurais vérifié l'égalité, mais je ne vois pas comment faire..

b ) OM et DC sont perpendiculaire si OM.DC = 0. Mais je ne vois pas comment on peut montrer cà.. Merci d'avance pour votre aide.
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[Jeanpaul]

Fais simple : OM = OA + OF et CD = OD - OC (en vecteurs tout ça)
Fais le produit scalaire et identifie chaque terme à partir de la figure.

[invite302e61f3]

Ah oui. Cà devient tout de suite plus simple.

OM.DC = (OA+OF).(OD-OC)
OM.DC = OA.OD - OC.OA + OF.OD - OC.OF

OABC carré donc OC. et OA ortogonaux et OC.OA = 0
ODEF carré donc OF et OD orthogonaux et OF.OD = 0

OM.DC = OA.OD - OC.OF
OM.DC = OA. ( - DO ) - OC.OF
OM.DC = OA.DO + OC.OF

C'est juste ce que je fais à la dernière ligne ? Je ne sais pas quoi mettre comme explication.. Comme les deux thermes sont négatifs, l'ensemble devient positif non ?

Pour la seconde partie, je ne vois pas du tout comment faire, pouvez vous m'éclairer ?

[Jeanpaul]

OA.DO est égal à a.b où a et b sont les côtés des 2 carrés.
Fais pareil pour l'autre terme et conclus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite302e61f3]

OA.DO est égal à a.b, où a et b sont les côtés des 2 carrés.

OC.OF est égal à a.b, où a et b sont les cotés des 2 carrés

D'ou OC.OF = OA.DO;

Mmmh'. Je ne comprend pas la suite. Comme on a OC.OF + OA.DO.. Cà ne peut pas faire 0.. Si ?

[Jeanpaul]

OC.OF est égal à a.b, où a et b sont les cotés des 2 carrés

C'est faux, ça, regarde de plus près.

[invite302e61f3]

Il ne faut pas dire que OF et OC sont colinéaires de sens contraires ? Parce que je ne comprend pas du tout comment il faut faire en nomant les vecteurs par a et b. :s

[Jeanpaul]

Donc OC.OF = - a b
ce qui boucle le problème

[invite302e61f3]

Soit a les cotés du carré OABC, b les cotés du carré EFOD.

OA et DO sont colinéaires et de même sens donc OA.DO = a fois b/2 = afoisb/2
OC et OF sont colinéaires et de sens contraires donc OC.OF = -a fois b/2 = -afoisb/2

D'ou OM.DC = 0, et du coup, (OM) perpendiculaire et ortogonal à (DC)

C'est juste ? Merci de préciser, c'est un exercice noté. :s

[Jeanpaul]

Oui, sauf que je ne saisis pas le facteur 1/2 dans a.b. D'où provient-il ?

[invite302e61f3]

Erf. Oui, comme j'ai noté b. J'enlève les 1/2 alors.

Sinon c'est bien rédigé ? C'est le plus important pour ma prof'. de math.

[invite302e61f3]

OM.DC = OA.OD - OC.OF
OM.DC = OA. ( - DO ) - OC.OF
OM.DC = OA.DO + OC.OF

Je n'arrive pas à expliquer la dernière ligne.. Mmmh'.

[invite302e61f3]

up s'il vous plaît.

[Jeanpaul]

En général, quand je donne des indications, j'évite de donner les détails, car ça revient à faire le problème.
Il faut déjà dire que OM = 1/2 (OA + OF) (le fameux facteur 1/2 errant)
DC = OC - OD
Le produit OM.DC fait alors apparaître les produits scalaires dont tu parles, qui se simplifient.
Le problème est que tu tronquais le développement.
Bien entendu, il faut joindre des explications et des justifications.

[invite302e61f3]

Ah je comprend mieux la seconde partie.

En développant je trouve OM.DC = -1/2 OA.DO . -1/2 OF.OD

Je ne vois pas comment je peux simplifier. Mais j'ai compris ou vous voulez m'emmener.. :s

[invite302e61f3]

Devoir à rendre demain. Je vais bientot éteindre. Cà serait sympa de répondre..

[Jeanpaul]

C'est pas OF.OD mais OF.OC et il faut se ramener aux grandeurs a et b.
Je ne vois pas ta démarche, on n'a pas l'impression que tu intègres ce que tu as appris.

[invite302e61f3]

Oups en voulant allé trop vite, je me suis trompé, désolée.

Donc je trouve OM.DC = -1/2.OA.OD . 1/2 OF.OC )

Soit a la valeur des cotés du carré OABC, b la valeur des cotés du carré ODEF

OA et DO sont colinéaires et de sens contraire donc OA.OD = a fois b/2
OC et OF sont colinéaires et de sens contraire donc OF.OC = -a fois b/2

D'ou OM.DC = 0, et du coup, (OM) perpendiculaire et ortogonal à (DC)

Est ce que la rédaction est bonne ?

C'est sûr. C'est la première fois que je fais un exercice de ce type avec les produits scalaires. Toujours du mal à comprendre au début.. :s

[Jeanpaul]

Donc je trouve OM.DC = -1/2.OA.OD . 1/2 OF.OC )

OA et DO sont colinéaires et de sens contraire donc OA.OD = a fois b/2
OC et OF sont colinéaires et de sens contraire donc OF.OC = -a fois b/2

Tes rédactions manquent de rigueur : trop de petites fuates.
Dans l'équation OM.DC, il y a un . au lieu d'un +
Ensuite, il n'est pas vrai de dire que OA.OD = a.b/2
Ce qui est vrai, c'est que -1/2 OA.OD = a.b/2
Pas exactement pareil !

[Jeanpaul]

Un couac, je renvoie le message :
Tes rédactions manquent de rigueur : trop de petites fautes.
Dans l'équation OM.DC, il y a un . au lieu d'un +
Ensuite, il n'est pas vrai de dire que OA.OD = a.b/2
Ce qui est vrai, c'est que -1/2 OA.OD = a.b/2
Pas exactement pareil !