Exercice de Math terminale S sur les complèxes

[inviteb6095d85]

Bonjour a tous,
Je suis tombé sur un exercice ou je n'arrive pas a résoudre la partie B, voici le sujet:

on Considère l'équation (E): z^4=-4
Montrer que si z est solution de (E), alors -z et conjugué de z sont solution de l'équation.

Pour cette partie je ne vois pas comment m'y prendre réelement pour résoudre, j'avais pensé à remplacer dans (E) z par x+iy mais je suis bloqué dans mes calculs et impossible d'avancer.

et ensuite montrer que z0=1+i est solution de l'équation ( ca c'est pas un problème ) et ensuite en déduire toutes les solutions de (E) ( la ca devient plus délicat )

Merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter
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[RoBeRTo-BeNDeR]

bonjour,

alors tu as z solution cela te donne une équation sur z! Maintenant réécrit là avec -z et regarde que tu retombe bien sur celle avec z et de même pour z conjugué.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Solution :

 Cliquez pour afficher

z solution de
pour -z:


donc on a bien



pour z conjugué



donc z conjugué vérifie aussi l'équation.

Pour la dernière:
Que peut on dire du conjugué de -z?

Tu as donc 4 solutions distinctes d'une équation du degré 4 que peux tu en conclure?

[inviteb6095d85]

Merci pour l'aide, par contre j'ai beau chercher, je ne trouve rien de particulier que l'on peux remarquer pour -z et pareille pour le fait que l'on ai 4 solutions distincte, je ne vois pas ce que ca peux nous apporter en fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

si tu sais que z est solution alors -z et z barre et - z barre solutions tu connais quatre solutions or cette equation est du quatrieme degré donc n'admet que quatre solutions
a toi de trouver une solution z evidente ou de vérifier ( solution donnée ) que tu en connais une ; donc les autres sont connues ....

[inviteb6095d85]

Je ne l'avais pas vu sous cette angle, merci bien!