Problème sur les suites

[inviteac0ba50f]

Bonjour,
Je me permet d'ouvrir un sujet car j'ai vraiment du mal à répondre à un exercice.

Voici un document pdf où se trouve le dit exercice : http://www.cafepedagogique.net/commu...-%20Annexe.pdf

C'est l'activité 1.

Je suis bloquée à la question c) :

Je sais que 25Pi/2 est l'aire du grand demi-cercle.

J'ai essayé de calculer le rayon d'un demi-cercle blanc : AB/((n+1)*2)= 10/(2n+2)

Aire totale des demi-cercles blancs : [Pi*(10/2n+2)²]*(n+1)/2

Mon idée était de soustraire l'aire blanche à l'aire totale.
Cependant j'arrive à trouver des n² et finalement j'arrive pas du tout à répondre à la question.
Pouvez-vous m'aider sur la démarche ? Car je crois que je suis vraiment en train de m'embrouiller....

Merci d'avance pour votre aide
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[invitef8f652fc]

Tu dois te tromper dans les calculs car tes hypothèses sont justes :


L'aire d'un petit cercle est

D'où

[inviteac0ba50f]

Merci pour ton aide !

Par contre je ne comprend pas comment tu calcules l'aire d'un petit cercle.
Ce que tu as écris revient à diviser l'aire du grand cercle par le nombre de segments au carré : je ne comprends pas cette démarche.
J'ai essayer par cette formule de refaire les calcules précédents et je trouve bien les mêmes résultats que les miens, mais même là je ne comprend pas cette formule...
C'est sûrement très simple et une histoire de bon sens mais si tu peux m'éclairer un peu...

[invitef8f652fc]

Ben c'est que j'avais volontairement laissé la forme développée pour te laisser la retrouver.
Tu sais que le diamètre d'un petit cercle est donc son rayon est .
Ainsi pour avoir l'aire tu n'a plus qu'à appliquer la formule :
Et comme on ne s'intéresse qu'à la demi-aire, on en déduit

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteac0ba50f]

Comme c'est ingénieux !
C'était vraiment de la logique pure et dure, j'aurais dut pouvoir l'a trouvée...
Je te remercie vraiment !

J'en profite pour te demander un autre éclaircissement :
J'ai étudier le sens de variation, puis j'ai déduis que le minorant était 25pi/4 (résultat de A₁ puisque n > ou = à 1 avec An > ou = à A₁).
Par contre le majorant serai lorsque la partie grise remplirai tout le grand demi-cercle mais pour cela n/n+1 = 1 or c'est impossible, serai-t-elle alors non majorée ?

[invitef8f652fc]

En effet, n'admet pas de solutions dans mais c'est tout à fait normal puisque le majorant ne peut être atteint pour une valeure précise de dans , on ne peut que tendre vers cette valeure : en effet plus on va diviser le diamètre en parties égales et plus l'aire en vert va se rapprocher dans l'aire totale mais sans l'atteindre complétement.

On peut d'ailleurs le montrer :

Soit une suite strictement croissante (cela vient du fait que la suite est croissante, simple à montrer)
est donc minorée par comme tu l'a dis.

La suite étant croissant, son maximum est atteint quand n tend vers l'infini positif :
(termes de plus haut degré)
On en déduit donc :