Vérifier la convergence d'une suite

[invite48ca7510]

Bonjour,

je dispose de ces 3 suites :
; et , toutes sur N*
On me demande de calculer les 4 premiers termes des suites, jusque là pas de problème ! Mais à la question d'après, on me demande de vérifier que ces suites sont convergentes et de donner leur limite...
Je ne sais pas "comment vérifier" leur convergence.... Je sais qu'une suite croissante et majorée ou qu'une suite décroissante et minorée converge (th. de convergence monotone), mais là je ne connais ni l'un ni l'autre (bien qu'à l'aide des 4 premiers termes j'ai une petite idée de leur sens de variation (décroissantes)).

Merci d'avance pour vos pistes !
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[invite0a963149]

Bonjour,

je dispose de ces 3 suites :
; et , toutes sur N*
On me demande de calculer les 4 premiers termes des suites, jusque là pas de problème ! Mais à la question d'après, on me demande de vérifier que ces suites sont convergentes et de donner leur limite...
Je ne sais pas "comment vérifier" leur convergence.... Je sais qu'une suite croissante et majorée ou qu'une suite décroissante et minorée converge (th. de convergence monotone), mais là je ne connais ni l'un ni l'autre (bien qu'à l'aide des 4 premiers termes j'ai une petite idée de leur sens de variation (décroissantes)).

Merci d'avance pour vos pistes !

Salut,

a toi de réfléchir sur le signe de
ensuite quand t'as ben c'est la même suite mais qui part avant ...

et quand à pareil que pour

[invite48ca7510]

Salut,

donc (Un) décroissante. Idem pour Vn et Wn : elles sont toutes les trois décroissantes (signe de la différence (...)n+1 - (...)n < 0).

Mais après comment montrer qu'elles sont bornées (ici, minorées) ?

[inviteee221dcd]

Pour montrer qu'elle sont minorée étudie cette fois ci le signe de
1/n et 1/(n+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48ca7510]

Leur signe est positif, mais je ne vois pas en quoi cela prouve qu'elles sont minorées ...

[invite585c4bf5]

Leur signe est positif, mais je ne vois pas en quoi cela prouve qu'elles sont minorées ...

Si leur signe est positif, c'est bien qu'elles sont minorées par 0...

[invite48ca7510]

Salut,

apparemment ça à l'air d'être assez logique pour vous ^^' pas pour moi... pourquoi peut-on affirmer que 0 les minore ? Pourquoi pas 0.00001 par exemple ?

[danyvio]

Salut,

apparemment ça à l'air d'être assez logique pour vous ^^' pas pour moi... pourquoi peut-on affirmer que 0 les minore ? Pourquoi pas 0.00001 par exemple ?

Parce qu'on peut trouver un n tq 1/n <0.00001

[invite0a963149]

Et puis on te demande si elle est minorée, donc s'il existe un a tel que pour tout n un>a, alors moi je te dirai qu'elle est minorée par -26, mais j'aurais pu tout aussi bien dire -2 ou -1/100000.

Le fait est que tu sais qu'elles sont strictement décroissantes pour tout n tes suites, et vu qu'elles convergent vers 0, elle peuvent pas avoir une valeur rebelle qui est négative, sinon il y aurait un petit moment où la suite considérée serait croissante, ce qui consituerai une contradiction, et donc ce cas de figure est impossible.

Dans dans ce cas là, tout ce qui est inferieur ou égal a ta limite est un minorant, et petit complément de connaissance, vu que tes suites sont décroissantes, on a aussi le majorant qui est le premier terme de chaque suite, a savoir u1, v0 et w1 !

Vouala

ciao

[invited633afae]

bonjour ,
tu n as qu' a calculé les limite (simple) directement et tu va répondre au deux questions au meme temps

[invited633afae]

car si la suite a une limite => elle est convergeante .

[invitebf26947a]

Bonjour.

Bonjour,

je dispose de ces 3 suites :
; et , Mais à la question d'après, on me demande de vérifier que ces suites sont convergentes et de donner leur limite...

Il te faut la convergence, si j'ai bien compris?


Idem avec vn.

[invite48ca7510]

Bonjour à tous,

on me demande d'abord de vérifier qu'elles convergent, et ensuite de calculer les limites.

Pour les limites, aucun problème : lim Un = 0; lim Vn = 0 et lim Wn = 0.

Mais c'est avant, pour vérifier la convergence. Je sais que tout n>0; et qu'elles sont décroissantes. Mais c'est le fait de ne pas avoir de minorant qui me perturbe... Parce que sans ça, on ne peut pas assurer qu'elles convergent (th de convergence monotone). Je sais (en tout cas c'est logique) que 0 est leur minorant, mais c'est la preuve qui me manque...

[invite0a963149]

Ben c'est toujours positif, donc c'est toujours plus grand que 0, donc 0 est un minorant.

Dis moi, peux tu nous rappeler la définition d'un minorant ?

[invite48ca7510]

La définition d'un minorant ? ...
Euh... Soit a un réel. Dire que a minore Un revient à dire que pour tout n élément de N, on a : a<Un.

C'est ça ?

[invite0a963149]

c'est plus ou moins ça

Dis moi ensuite combien y a t il de minorants pour une suite convergente ?

[invited633afae]

on a deja que 1>= 1/n >0 car n>0 c est evident ! Un et minoré par 0
et on a n>0 =>n+1 >1
=>0<1/n+1<1 car n est un entier naturel (n>0) Vn et minoré par 0

donc 0<1/n+1 *1/n=Wn =<1
le symbole =< ça veut dire inferieur ou égal !!

[invited633afae]

avec le calcul de limite aussi c est valable ! vous pouvez caluer les limites et dire que les suite sont convergentes puisque elle admettent des limites et apres conclure avec ces limite !!
c est ce que j pense!

[invite48ca7510]

Bonsoir,

@blablatitude : je pense qu'il n'y a qu'un seul minorant, vu qu'il à l'air d'être égal à la limite et que, lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.

@saraviva : étant donné l'ordre des questions, je ne savais pas si j'avais le droit d'utiliser la limite avant de vérifier la convergence...

[inviteea028771]

Lorsqu'il existe un minorant, il existe une infinité de minorants.

Si a est un minorant, a-1 est aussi un minorant (tout comme a-x, x>0)

La définition d'un minorant :

est un minorant de la suite si pour tout entier,

[invite0a963149]

Tu m'as franchement l'air de confoncre minimum et minorant.

Prenons la suite constante égale a 0 (qui n'a pas grand interet mais qui a le mérite d'être très simple), u0=0 u1=0 u2=0 etc ...

Cette suite n'a qu'une seul minimum : 0 par contre quel que soit n Un>-1
Un>-6
Un>-0,0000000000000000000001
Un>-2
Un>-5
Un>-800
Un>-Pi

Et je peux t'en trouver beaucoup d'autres je suis sur, a ton tour, releveras tu le défi ?

[invite48ca7510]

Je relève le défi (Un) > m pour tout m appartenant à [0,-oo[

En fait j'ai confondu parce que je croyais que les minorants appartenaient eux aussi aux entiers naturels... Alors que, comme les limites, ce sont des réels...

En tout cas, merci bien !