Equation différentielle d'ordre 2.

[inviteea0aaf73]

Bonsoir!

Afin de m'entraîner sur les équations différentielles, j'ai décidé de revoir les exercies exécutés en cours. Parmi ceux-ci je suis tombée sur cet exercice qui me pose quelque difficultés.

Soit a, b, c trois réels tels que :
a ≠0 et b²-4ac ≥ 0
On note (E) l'équation différentielle sur ℝ :
ay"+by'+cy=0

1) Résoudre dans ℝ l'équation ax²+bx+c=0
On notera r1 et r2 les deux solutions distinctes ou confondues de cette équation.

Ici, pas de problème, ce n'est qu'une résolution basique de polynôme

2) Démontrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation :
y"-(r1+r2)y'-r1r2=0, elle même équivalente à l'équation :
(y"-r1y')-r2(y'-r1y)=0

J'ai beau essayer, je ne trouve pas ces équivalences.
Comment partir? Merci de m'aider!


-----

[invite8fabde6c]

Pour la première équivalence tu as les relations entre les coefficients d'un polynôme et la somme des racines et le produit des racines.
Pour la dernière équivalence c'est juste une question de forme ^^

[invite8fabde6c]

Et d'ailleurs au passage, je pense que dans ton expression c'est " + r1r2"

[inviteea0aaf73]

Merci pour la réponse! Et en effet, c'était bien "r1+r2" et non "r1-r2".
Pour ce qui est des relations entre le polynôme et ses racines, je ne vois que celles-ci : r1+r2=c/a et r1r2=-b/a, en les remplacant dans la première équivalence je trouve :
y''-(c/a)y'-b/a=0, mais comment peut-on retrouver (E)? Je suis perdue...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea0aaf73]

Désolée pour le double post, je voulais dire "+r1r2" en fait.

[invite0a963149]

tu sais que tu as cy''+by'+ay=0 que tu as même réécris comme il le fallait
Mais ce qu'il faut bien voir, c'est que l'équation n'est pas écrie comme dans ton cours (le a et le c) sont inversés, donc ...