Suite arithmétique

[invitea95677ad]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur lequel je suis depuis un bon moment :

Énoncé :

On considère la suite (Un) définie par :
U₀ = 1 +
U_n+1 = 1 +
et n appartient aux naturels.

1) a) Calculer U₁ et U₂.
b) Justifier que pour tout n 1, U_n 1.

2) On pose V_n = (U_n - 1)²
a) Montrer que (V_n) est une suite arithmétique.
b) Calculer V_n puis U_n en fonction de n.

Ce que j'ai pour l'instant (c'est-à-dire pas grand chose ) :

1)a) U₁
= U₀₊₁
= 1 +
= 1 +.

U₂
= U_{1 + 1}
= 1 +
= 1 + racine de 8
= 1 + 2.

b) Là je ne sais pas.

2) a) Si je développe, ça donne : V_n = U_n² - 2 U_n +1, mais après, je ne vois pas à quoi cela va me servir.

Voila, c'est pas très glorieux. Merci d'avance pour toutes vos réponses.
-----

[Paminode]

Bonjour,

b) Justifier que pour tout n 1, U_n 1.

Bonjour Artinia,

U_n est de la forme 1+A.
U_n 1 <=> A 0

[invitea95677ad]

Bonjour Artinia,

U_n est de la forme 1+A.
U_n 1 <=> A 0

Merci Donc si j'ai bien compris, j'utilise :
U_n+1 = 1+
et je dis qu'une racine est toujours positive d'où si n 1 alors 1+ 1.

C'est bien ceci ?

[Paminode]

Merci Donc si j'ai bien compris, j'utilise :
U_n+1 = 1+
et je dis qu'une racine est toujours positive d'où si n 1 alors 1+ 1.

C'est bien ceci ?

Voilà. Le radical est toujours 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2359b950]

D'accord, merci
Pour la suite, j'ai trouvé :
Il faut prouver : V_n+1 - V_n = const.
D'où : (Un+1 - 1)² - (Un - 1)²
=(U_n+1)² - 2 U_n+1 +1 - U_n² + 2U_n -1
=(U_n+1)² - 2 U_n+1- U_n² + 2U_n
Et après je ne sais pas si c'est bon ...
= (U_n*U₁)² - 2 U_n+1- (U_n*U₀)² + 2U_n
= U_n² * (U₁²-U₀²)- 2 U_n+1+ 2U_n
Eh la je sais plus où je vais ...

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...
Pour la suite, j'ai trouvé :
Il faut prouver : V_n+1 - V_n = const.
D'où : (Un+1 - 1)² - (Un - 1)²
=(U_n+1)² - 2 U_n+1 +1 - U_n² + 2U_n -1
=(U_n+1)² - 2 U_n+1- U_n² + 2U_n
...

Que dirais-tu d'exprimer u_n+1 en fonction de u_n pour d'éventuelles simplifications ?

Duke.

EDIT : D'ailleurs je ferais ce changement dès la première ligne pour éviter des développements inutiles

[pallas]

tu dois de suite calculer u(n+1) -1 et l'elevrer au carre et cela devient evident en soustreyantv ensuite (u(n) -1)²

[invitea95677ad]

tu dois de suite calculer u(n+1) -1 et l'elevrer au carre et cela devient evident en soustreyantv ensuite (u(n) -1)²

Ah oui ça marche beaucoup mieux d'un coup

(U_n+1 - 1)

= 1+ - 1

=

d'où :
(U_n+1 - 1)² - (U_n - 1)²
= U_n²-2U_n+4 - U_n² + 2U_n- 1
= 3

Merci beaucoup Je peux réfléchir à la suite maintenant

[invitea95677ad]

2)b) V_n est une suite arithmétique donc :
V_n = V₀ + 3n (d'après le 2)a) )
et V₀ = (U₀ - 1 )²
= (1 +
- 1)²
= 2
D'où : V_n = 2 + 3n.

Et pour U_n, de nouveau, je bloque :
V_n = (U_n-1)²
2n+3 = U_n² - 2 U_n +1
2n+2 = U_n² -2 U_n
Un² = 2 (n+1-U_n)
Un =

Et là, je suis bloquée : Je n'arrive pas à me débarrasser du U_n à droite.
Merci beaucoup de votre aide

[Duke Alchemist]

Re-

2)b) V_n est une suite arithmétique donc :
V_n = V₀ + 3n (d'après le 2)a) )
et V₀ = (U₀ - 1 )²
= (1 +
- 1)²
= 2
D'où : V_n = 2 + 3n.

OK

Et pour U_n, de nouveau, je bloque :
V_n = (U_n-1)²
2n+3 = U_n² - 2 U_n +1
...
Et là, je suis bloquée : Je n'arrive pas à me débarrasser du U_n à droite.
Merci beaucoup de votre aide

Pourquoi développes-tu ?
En t'assurant que V_n>0 (ainsi que U_n) tu peux prendre la racine carrée des deux côtés, non ?

...
Je te laisse finir...

Duke.

[invitea95677ad]

Merci Duke Alchemist ! En fait, c'était tout bête !
Donc, j'ai :
V_n = (U_n -1)²
2n + 3 = (U_n -1)²
= U_n -1

d'où : U_n = -1 -

Merci pour tout

Sinon, il me reste une question, par rapport au 1)b) :
J'ai trouvé :
U_n+1 = 1+
et je dis qu'une racine est toujours positive d'où si n 1 alors 1+ 1.
Donc, U_n+11. Seulement, dans l'énoncé, on me demande de prouver que U_n1. Donc, je ne vois pas trop comment faire .

[invitea95677ad]

S'il vous plait

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
Sinon, il me reste une question, par rapport au 1)b) :
J'ai trouvé :
U_n+1 = 1+
et je dis qu'une racine est toujours positive d'où si n 1 alors 1+ 1.
Donc, U_n+11. Seulement, dans l'énoncé, on me demande de prouver que U_n1. Donc, je ne vois pas trop comment faire .

Je te propose d'étudier le signe du radicande (expression sous la racine) :
u_n² - 2u_n + 4 = (u_n-1)² + 2 (forme canonique et non de la magie )
La valeur minimale de ce terme est 2 et c'est pour u_n=1.
Conclusion...

Duke.