Urgent et Besoin d'aide s'il vous plaît

[invitec2b4a920]

Bonjour , j'ai eu cet exercice en DS mais suite à un échec collectif de la classe , nous devons le refaire . Sauf que je ne comprends toujours pas malgré mon acharnement .. . Alors Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance à tous . Bonne apres midi . Voilà le sujet :

Dans le plan, on considère un carré ABCD de coté (Γ) le cercle de centre D et de rayon 1. A tout point M de [AB] on associe N de [BC] tel que (MN) soit tangente à (Γ) ; on construit ainsi deux cercles (C) et (C') tangents entre eux au point T , comme sur la figure ci-dessous :


On se propose de déterminer la position de M sur [AB] pour que S la somme des aires des deux disques soit minimale. On pose AM = x et CN=y

PARTIE A :
1)a) Vérifier que MN= x = y , puis MN² = (1-x)² + (1-y)²
b) En déduire y en fonction de x
2) Exprimer S en fonction de x

PARTIE B :
On note S = h(x)
1)a) Justifier que h est définie et dérivable sur [0;1]. Calculer h'(x) pour tout x de [0;1]
b) Vérifier que pour tout x de [0;1] ,
h'(x)= 2pi/(1+x)^3/(x^4+3x^3+3x²+3x-2)

2) Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = x^4+3x^3+3x²+3x-2
a) Justifier que f est dérivable sur [0;1] et donner sa fonction dérivée f'.
b) on considère la fonction définie sur [0;1] par g(x)=f'(x). Préciser la dérivabilité de g sur [0;1] , et calculer g'(x) , pour x de [0;1] , en déduire les variations de g. Établir enfin que : g(x)>0 sur [0;1]
c) Donner les variations de f sur [0;1]

3a) Démontrer qu'il existe une unique solution , notée α , à l'équation f(x)=0 sur [0;1]
b) Déterminer une valeur approchée de α à 10^(-3) prés. Conjecturer la valeur exacte de α , puis vérifier votre résultat.
c) Donner le signe de f(x) pour tout x de [0;1]

4)a) Déduire des questions 1 et 3 les variations de h sur [0;1]
b) Établir que h est minimale en x=α et vérifier alors que x = y

PARTIE C :

1) Donner la valeur minimale de S
2) Réaliser une figure correspondant à la solution. On utilisera la règle et le compas.

Merci encore d'avance . Et Je m'excuse de ne pas pouvoir vous fournir des reponses car je suis totalement perdu.
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[Eurole]

Bonjour et bienvenue.
Il manque en pièce jointe le dessin annoncé.
C'est en général la clé nécessaire pour recevoir de l'aide dans une question d'ordre géométrique.

http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

[invitec2b4a920]

Bonsoir , en effet j'ai oublié la figure je suis désolé je la mets de suite.

[inviteb14aa229]

1)a) Vérifier que MN= x = y ,
.

Bizarre :
MN = x ?
x = y ?
Ce n'est pas plutôt : MN = x + y ?

1)a) puis MN² = (1-x)² + (1-y)²
.

Pythagore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite26003a38]

L'aire de C est piRcarré.
Pour l'aire de C' tu t'aides de l'expression de y de la question précédente et tu utilises la même formule.

[invitec2b4a920]

Bonsoir , désolé de repondre si tardivement mais j'ai eu un probleme internet ..
Oui vous avez raison Paminode c'est MN = x + y . Pourquoi & comment utiliser Pythagore ? J'espere que vous allez quand meme pouvoir m'aider malgré le cours temps qu'il reste Merci d'avance , Bonne soirée.

[inviteb14aa229]

Pourquoi utiliser Pythagore ?

Parce que l'expression MN² = (1-x)² + (1-y)², avec tous ces carrés, fait furieusement penser à la définition du théorème de Pythagore.

& comment utiliser Pythagore ?

Cherchez un triangle rectangle faisant intervenir MN.

[invite26003a38]

Et dans lequel MN est l'hypoténuse.

[invitec2b4a920]

Merci a vous deux pour vos réponses . Donc il faut utiliser le triangle BMN ? Mais comment faire avec l'expression MN² = (1-x)² + (1-y)² enfin comment l'utiliser ? pouvez vous m'expliquer svp ?
Merci d'avance , Bonne soirée .

[invite7bfc68ef]

Merci a vous deux pour vos réponses . Donc il faut utiliser le triangle BMN ? Mais comment faire avec l'expression MN² = (1-x)² + (1-y)² enfin comment l'utiliser ? pouvez vous m'expliquer svp ?
Merci d'avance , Bonne soirée .

bonsoir
avec MN²= ..... on ne peut pas exprimer y en fonction de x
mais 'a' étant l'abscisse du point T qui se balade sur le quart de cercle de centre D , on peut exprimer x en fonction de a et y en fonction de a ; perso , j'ai fait comme ça
d'abord trouve l'équation du cercle puis avec la dérivée exprime x en fct de a , et y en fonction de a , c'est un peu dur mais si t'es en terminale s tu peux y arriver ; puis pour la somme des aires pi r² + pi r²

[inviteb14aa229]

avec MN²= ..... on ne peut pas exprimer y en fonction de x

Si, puisqu'on a trouvé auparavant MN = x+y, ce qui donne donc une autre expression de MN².

[inviteb14aa229]

J'espere que vous allez quand meme pouvoir m'aider malgré le cours temps qu'il reste

C'est pour quand ?

[invitec2b4a920]

Malheuresement, c'est pour lundi..

[invitec2b4a920]

Aufait Merci pour vos reponses Mais est ce que vous pourriez m'expliquer car je melange tout

PS : Portoline je suis en premiere S et non terminal S .
Bonne soirée

[inviteb14aa229]

Dans la 1ère question, vous avez obtenu :
MN = x+y d'où MN² = (x+y)²
et d'autre part :
MN² = (1-x)² + (1-y)²
Il ne vous reste qu'à écrire
MN² = MN²
et en 3 lignes vous avez y en fonction de x.

[invitec2b4a920]

MN = x + y ==> MN²= (x+y)² = x²+2xy+y²
MN² = (1-x)²+(1-y)² = 1²-2x+x² + 1² -2y + y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
= 2(1-x-y) + x² +y²
Mais je ne vois pas l'égalité ?
Désolé mais vu mon niveau en maths il va me falloir beaucoup d' explications :/

[inviteb14aa229]

Mais je ne vois pas l'égalité ?

MN² n'est pas égal à MN² ?
Nitro59 n'est pas égal à Nitro59 ?

[invitec2b4a920]

Bonjour , il faut prouver que MN=x + y = MN² ?

[inviteb14aa229]

a = b
a = c
Qu'en déduisez-vous ?

[invitec2b4a920]

J'en déduis que a = b = c donc que le develoippement de MN² doit etre egal a celui du resultat de MN= (x+y)² mais d'apres mes calculs je n'avais pas reussir a prouver cette egalité est-ce une faute dans mes calculs ?
MN = x + y ==> MN²= (x+y)² = x²+2xy+y²
MN² = (1-x)²+(1-y)² = 1²-2x+x² + 1² -2y + y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
= 2(1-x-y) + x² +y²

[invite26003a38]

tu fais :
(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²

Tu developpes, tu simplifies et tu as une expression de y en fonction de x. C'est pas plus compliqué que ça.

Pour S tu utilises la formule de l'aire d'un cercle. Puis tu remplaces le y par l'expression trouvée.

[inviteb14aa229]

mais d'apres mes calculs je n'avais pas reussir a prouver cette egalité est-ce une faute dans mes calculs ? MN = x + y ==> MN²= (x+y)² = x²+2xy+y²
MN² = (1-x)²+(1-y)² = 1²-2x+x² + 1² -2y + y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
= 2(1-x-y) + x² +y²

Attention, vous faites une confusion.
Il n'y a pas à démontrer que (x+y)² = (1-x)²+(1-y)² pour tout x et pour tout y, comme par exemple dans les identités remarquables :
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
Ces 3 identités sont, elles, vérifiées pour tout a et tout b. Donc dans tout problème possible et imaginable.
Mais ici, on ne vous demande pas de démontrer une nouvelle identité remarquable qui serait :
(a+b)² = (1-a)² + (1-b)² qui serait elle aussi valable pour tout a et pour tout b. Il suffit de développer comme vous avez fait pour vérifier que ce serait faux.
Non !!! La configuration est tout autre. Nous sommes dans le cas particulier d'un problème où l'on démontre d'abord qu'une grandeur MN² est localement égale à (x+y)² ; et ensuite où l'on démontre que cette grandeur MN² est également localement égale à (1-x)²+(1-y)².
Et j'ai écrit "localement" pour signifier "uniquement dans ce problème".
Par conséquent, vous avez démontré que, dans cette configuration précise et unique :
MN²= (x+y)²
Vous avez par ailleurs démontré que, toujours dans cette configuration précise et unique :
MN² = (1-x)²+(1-y)²
Vous pouvez donc écrire que, encore une fois dans la configuration précise et unique de ce problème, ces deux expressions de MN² peuvent être déclarées égales.
D'où : (x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
Vous développez, et vous en déduisez une expression de y en fonction de x : y = f(x)
Expression de y en fonction de x qui, naturellement, ne sera valable que pour ce problème, puisque, encore une fois, (x+y)² = (1-x)²+(1-y)² n'est vrai que pour les x et y envisagés dans ce problème.

[invitec2b4a920]

Bonjour Donc ça fait : x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y²
=2xy+2x+2y
= 2(xy+x+y) ?

[invitec2b4a920]

Merci a vous deux pour vos reponses . Donc il faut présenter la reponse comme cela ? :
(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y²
=2xy+2x+2y
= 2 (xy+x+y)

= 2(xy+x+y) ?

[invite26003a38]

Isole ton y pour l'avoir en fonction de x.
Il ne sert strictement à rien de factoriser. Réécris les 2 termes de l''équation à chaque fois sinon tu vas te perdre.

[inviteb14aa229]

(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 1-2x+x²+1-2y+y²
Les x² et y² se simplifient
Il reste :
2xy = 2-2x-2y
Il ne reste plus qu'à simplifier une nouvelle fois (par 2), isoler y et donc trouver y = f(x)

[inviteb14aa229]

Merci a vous deux pour vos reponses . Donc il faut présenter la reponse comme cela ? :
(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y²
=
2xy+2x+2y
= 2 (xy+x+y)
= 2(xy+x+y) ?

Grave erreur !
Les équations des deux premières lignes (en bleu) ont deux membres. Dans les lignes suivantes (en rouge), le second membre a disparu.
L'écriture correcte serait :
(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y² = 0
2xy+2x+2y = 0
Etc.
En plus, le -2 a disparu dans la bagarre !

[invitec2b4a920]

Merci encore a vous deux pour vos reponses donc cela fait :
(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y² = 0
2xy-2+2x+2y = 0
2xy=2-2x-2y
x= y-xy-y
x=-xy
non ?

[invite26003a38]

Cela voudrait dire que y=-1 or c'est une longueur.
non reprends l'étape finale de l'équation de Paminode. Passe tous les termes avec du y d'un côté factorise par y et divise.

[invitec2b4a920]

(x+y)² = (1-x)²+(1-y)²
x²+2xy+y² = 2 - 2x -2y + x² + y²
x²+2xy+y²-2+2x+2y-x²-y² = 0
2xy-2+2x+2y = 0
-2 + 2x = -2xy-2y
- x = -xy - y
x = xy + y
Est ce bon ?