Bonjour
J'essaye de trouver la dérivée et le sens de variation de ln(e^x+e^-X).
Pour la dérivée, j'ai changé l'écriture de f, j'ai f(x)=x+ln(1+e^(-2x)).
Avec cette écriture, je tombe sur une dérivée du type f'(x)=(-e^(-2x))/(1+e^(-2x)) mais après je n'arrive pas à trouver le signe...
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Bonjour,
Une exponentielle est toujours positive.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Je dirais même plus, une exponentielle est toujours strictement positive
[édit] a la réflexion il doit y avoir un problème dans ta dérivée, car elle devrait être négative pour x=<0 et positive pour x>=0
ah ben oui ta dérivée est fausse, qu'est devenu le x du début ?
Exact, je me suis trompé dans ma dérivée.
Normalement, en dérivant f(x)=x+ln(1+e^(-2x)), je dois avoir
f'(x)=1-(2e^(-2x))/(1+e^(-2x))
f'(x)=(1+e^(-2x)-2e^(-2x))/(1+e^(-2x))
f'(x)=(1-e^(-2x))/(1+e^(-2x))
Or comme la fonction exponentielle est toujours positive, 1+e^(-2x)>0
Donc f'(x)>0 lorsque :
1-e^(-2x)>0
e^(-2x)<1
e^(-2x)<e^0
-2x<0
x>0
Donc f'(x) positive sur R+ et f croissante !
Merci beaucoup pour votre aide ^^
ça manque de justifications mais dans le fond c'est ça...
Bref tu verras plus tard (peut être) que la fonction f était f(x)=ln(2*ch(x))
Or ch (cosinus hyperbolique) étant superieur a 1 et décroissant sur IR- et croissant sur IR+ et ln étant croissante sur [1,+inf], alors f est croissante sur IR+ et décroissante sur IR-.
Et la dérivée que ln(2*ch(x))=2*sh(x)/(2*ch(x))=th(x) négative sur IR- et positive sur IR+
Bonjour.
Un truc m'échappe : pourquoi tiens-tu à modifier l'expression de départ ?
(ln(u))' = u'/u, non ?
Duke.
O_O j'avais parfaitement oublié cette formule ! Merci de me l'avoir rappelé !
En fait je tenais à ce changement de formule parce que la question que j'ai donné fait partie d'une exo dans laquelle, au début, on demande de démontrer que f(x)=x+ln(1+e^(-2x)). De plus, comme je n'avais pas ta fameuse formule, j'ai tenté de me servir de ln(e^x+e^-x) avec la dérivée d'une composée et bêtement je me suis planté (je viens de refaire le calcul et j'ai trouvé la bonne réponse). Voilà
Sinon j'ai une autre question sur mon exercice qui me bloque :
On pose F(x)= [Intégrale, 0, x] ln(1+e^-2t)dt
Soit a un réel strictement positif
Dans l'exo, je devais montrer que pour tout t de [1 ; 1+a] que : 1/(1+a)=<1/t=<1.
Très facile comme quesiton, j'ai réussi à y répondre sans problème.
Mais après, on me demande d'en déduire que pour tout a>0, a/(1+a)=<ln(1+a)=<a et là je suis complètement bloqué...
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
En fait, non c'est bon, j'ai trouvé, je dois juste me servir de la primitive, dsl
