[EXERCICE] : Produit scalaire

[V_456]

Bonjour,
Je suis en 1ere S,
voila l'énoncé d'un exo sur le produit scalaire sur lequel je me pose une question:
(je ne sais pas représenter les vecteurs, je mettrais donc en rouge tout ce qui est censé être un vecteur)
Soit ABC un triangle et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC)

1. Démontrer que :
a)AB.AC = AH^2-HB*HC
b) AB.AC = AB^2-BH*BC

Question pas difficile mais... il me semble que ces relations ne sont pas toujours vraies. Lorsque que la hauteur issue de A ( et donc le projeté orthogonal de A --> H) sont à l'extérieur du triangle, je trouve:
a) = AH^2+HB*HC
b) = AB^2+BH*BC

Le résultat differe-t-il vraiment selon le cas de figure, ou est-ce moi qui me suis trompé?
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[invitedae43da4]

Tu es sur déjà que tu ne t'es pas trompé dans ta démo?
a) Il ne faut pas plutôt que tu montres AB.AC=AH² -HB.HC?

[V_456]

Non c'est bien la relation que j'ai écrit au début.
Quant à ma démonstration:

AB.AC= (AH+HB).(AH+HC)
=AH^2+(AH.HC)+(HB.AH)+(HB.HC)
=AH^2+(HB.HC)
car (AH) est orthogonale à (HC) et à (HB) donc les deux produits scalaires du milieu sont nuls.
Donc le résultat du p.scalaire HB.HC est égal à HB*HC ou -HB*HC selon le sens de ces vecteurs colinéaires.
Avec H sur [BC], on a -HB*HC
mais sur une figure avec H à l'extérieur de [BC], on HB*HC

Voila mon raisonnement. Il me semble juste (c'est mon raisonnement en même temps...). Mais peut-être que je me trompe quelque part.

[invitedae43da4]

Oui en effet tu as raison...
Peut être que quelqu'un de plus sage passera par là pour nous aider ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Non c'est bien la relation que j'ai écrit au début.
Quant à ma démonstration:

AB.AC= (AH+HB).(AH+HC)
=AH^2+(AH.HC)+(HB.AH)+(HB.HC)
=AH^2+(HB.HC)
car (AH) est orthogonale à (HC) et à (HB) donc les deux produits scalaires du milieu sont nuls.
Donc le résultat du p.scalaire HB.HC est égal à HB*HC ou -HB*HC selon le sens de ces vecteurs colinéaires.
Avec H sur [BC], on a -HB*HC
mais sur une figure avec H à l'extérieur de [BC], on HB*HC

Voila mon raisonnement. Il me semble juste (c'est mon raisonnement en même temps...). Mais peut-être que je me trompe quelque part.

C'est juste, pas de doute.

[V_456]

Ok, merci. Vu ton nombre de post je pense que je peux te faire confiance (ca veux rien dire, mais qd même..)