Exercice complexes (ensemble)

[invite7571a3c3]

Bonjour.
Je suis tombe sur un exercice dont je n'ai pas la correction.
Une question me demande de determiner puis de dessiner l'ensemble E tel que
f(z)=z'=(z-2i)/(z+1) est imaginaire pur.

Voici mon raisonnement:
Pour que z' soit imaginaire pur, il faudrait que le denominateur (z-2i) soit im. pur et que le numerateur (z+1) soit reel non imaginaire (car autrement, le numerateur ne serait plus im. pur car on multiplierait par le conjugue).
Le seul point d'affixe z verifiant ces deux conditions est l'origine du repere O(0;0) d'affixe z=0.

Est-ce juste? Je ne suis vraiment pas sur de moi et j'ai mon bac dans 4 jours

Merci d'avance

PS: Excusez l'absence d'accents, je suis sur un qwerty.
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[invite003c405b]

a tu essayé d'écrire z=x+iy, de l'insérer dans ton équation et de ensuite déterminer les valeurs x et y pour lesquelles z' ne dépend que de i?

[invite92b6e5eb]

Non, ton raisonnement ne tient pas: une fraction peut très bien être imaginaire pure alors que son numérateur n'est pas réel: par exemple est imaginaire pur.

Il faut en fait, pour résoudre ton problème, trouver la partie réelle de ta fraction, et trouver la condition pour qu'elle soit nulle. Par exemple tu peux écrire , puis multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué , et ENSUITE tu peux prendre facilement la partie réelle. Il semble que dans ton raisonnement tu aies plus ou moins inversé ces deux étapes...

Petite aide: à la fin tu dois trouver que z décrit un cercle, passant par l'origine (puisque le point z=0 que tu as trouvé est tout de même correct). Je te laisse trouver son centre et son rayon.
Bons calculs

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Pour que z' soit imaginaire pur, il faudrait que le denominateur (z-2i) soit im. pur et que le numerateur (z+1) soit reel non imaginaire (car autrement, le numerateur ne serait plus im. pur car on multiplierait par le conjugue).

Ceci n'est pas un argument. Il se peut que ni le numérateur ni le dénominateur ne soit imaginaire pur et que z' le soit tout de même.
En posant ceci vous rajoutez une hypothèse supplémentaire, vous voulez que z' soit imaginaire pur et que son dénominateur soit imaginaire pur. C'est pour ça que vous trouvez un ensemble aussi réduit.

Vous ne pourrez rien dire tant que vous aurez un numérateur et un dénominateur complexe. Plutôt que de menacer de multiplier par le conjuguer, faites le.

A la fin vous devriez vous retrouver avec quelque chose de la forme z'=a'+ib' et dans ce cas là vous pourrez dire que z' est imaginaire pur si et seulement si a' est nul.

P.S : Il se peut que poser z=a+ib vous aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Bonjour!

D'une façon générale tu sais que pour que soit imaginaire pur, il faut que donc
L’ensemble des points M est donc le cercle de diamètre [A ,B] privé du point B.
Dans ton cas et

[Jon83]

Plus rigoureusement c'est:

[pallas]

Z reel equivalent à Z=conjugue de Z
de même Z imaginaire pur equivalent à Z =-conjugué de Z
car
réelZ=(Z+conj(Z))/2
im(Z)=(Z-conjugué(Z))/2i

[invitedae43da4]

D'une façon générale tu sais que pour que soit imaginaire pur, il faut que donc
L’ensemble des points M est donc le cercle de diamètre [A ,B] privé du point B.
Dans ton cas et

Exactement !

Je voudrais aussi ajouter que tu n'es pas clair dans tes explications mbs.
Tu nous donnes f(z)=z'=(z-2i)/(z+1) et tu dis ensuite que (z-2i) est le dénominateur. Mais si j'ai bien suivi, z-2i est en haut, c'est donc le numérateur... Enfin c'est ce qu'il me semble

[invite7571a3c3]

Donc l'ensemble E est le cercle de centre O'(-1/2;1) et de rayon r=(racine de 5)/2, prive de B(-1;0)
c'etait simple quand meme... je me suis betement precipite sur une fausse piste; a ne plus refaire
Merci a tous vous m'avez tous aide
Link42 tu as raison desole pour cette erreur d'inattention