Récurrence et conjecture (1ère S)

[Jon83]

Bonjour à tous!

On considère la suite [u(n)] définie par:
u(0)=1, u(n+1)=u(n)+2n+3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u(n)>n²
b. Quelle est la limite de la suite ?
3. Conjecturer une expression de u(n)en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

J'ai trouvé:
1) la suite est croissante
2a) par récurrence u(n)>n² donc 2b) sa limite est +infini
Par contre, je bloque sur 3)...
Merci d'avance pour votre aide!
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[invite79d10163]

il faut faire une conjecture, par exemple : u(n) = (n+1)^2 + 2n
(trouver en observant la suite tout simplement)

Ensuite il faut le démontrer.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour le 3. il est toujours possible de calculer les premiers termes afin de pouvoir établir une conjecture...

Duke.

EDIT : Grillé...

[Jon83]

Le calcul des premiers termes semble confirmer que u(n)=(n+1)²+2n.
Mais comment le démontrer?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bonsoir,
essayes de comparer
U(n+1) en fontion d U(n) en uilisant la conjecture pour U(n) et verifier qu'elle est vrai pour U(n+1) .

[Jon83]

Bonjour!
La conjecture supposée u(n) = (n+1)^2 + 2n ne fonctionne pas. Je me suis donc aidé de Wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i...u(n)%2B2*n%2B3) qui me donne u(n)=n(n+2)+c.
Connaissant u(0), je trouve c =1; donc u(n)=n(n+2)+1. Comme celà ça fonctionne bien!!!
Mais existe t-il un méthode générale pour résoudre ce type de récurrence?

[pallas]

a ma connaissance non maintenant il faut etablir par recurrence ta conjoncture à savoir u(n)= n(n+2) +1

[inviteea028771]

Surtout que ce n'est pas u(n)= n(n+2) +1 la bonne réponse mais bien u(n)=(n+1)²+2n

Preuve que u(n) != n(n+2)+1

u(1) = 6 != 4 = 1(1+2) +1

Preuve que u(n) = (n+1)²+2n :

Remarquons que u(0) = (0+1)² +2*0

On suppose que pour tout n < N, u(n) = (n+1)²+2n

u(N) = u(N-1) + 2N + 3 = (N²+2(N-1)) + 2N + 3 = N² + 4N +1 = (N+1)² + 2N

Donc u(N) = (N+1)² + 2N

Ainsi pour tout n, u(n) = (n+1)²+2n


Une façon de conjecturer ça pourrait être de remarquer la chose suivante :

u(1) = u(0) + 2*1 + 3
u(2) = ( u(0) + 2*1 + 3 ) +2*2 + 3 = u(0) + 2 (1+2) + 3*2
u(3) = ( u(0) + 2 (1+2) + 3*2 ) + 2*3 + 3 = u(0) +2 (1+2+3) + 3*3
u(4) = ( u(0) +2 (1+2+3) + 3*3 ) + 2*4 + 3 = u(0) +2 (1+2+3+4) + 3*4

On peut donc conjecturer que

Ça se démontre très facilement par récurrence, et ensuite on sait que donc par un calcul simple u(n) = (n+1)²+2n

[Jon83]

Surtout que ce n'est pas u(n)= n(n+2) +1 la bonne réponse mais bien u(n)=(n+1)²+2n

Tu as raison! Mais ne peut-on plus faire confiance à Wolfram ou ai-je commis une erreur d'entrée des données?

[inviteea028771]

Misèèèèèèère -_-'

En fait c'est moi qui me suis trompé...

C'est vicieux, car l'expression que j'ai prise de u(n) c'est :

u(n) = u(n-1) + 2n + 3

Or l'expression de u(n) est la suivante :

u(n+1) = u(n) + 2n + 3

Et ça n'est pas du tout pareil

Wolfram 1 : 0 Tryss

[invite51d17075]

vi l première conjecture ne passe pas la barre.
on arrive à U(n+1)= U(n)+2n+5 et pas ( plus 3)

[Jon83]

Bonsoir !
Merci à tous pour votre participation. En cherchant sur le net, j'ai trouvé http://www.info.fundp.ac.be/~gsc/Stu...Recurrence.pdf.
Bien sûr, ce n'est pas du niveau de 1ère S... En l'appliquant à la relation de récurrence u(n+1)-u(n)=2n+3, on peut l'identifier à une équation récurrente non homogène du 1er ordre.
La solution de l'équation homogène est uh(n)=1
Le second membre étant de la forme F(n)=2n+1, la solution particulière est, tout calcul fait up(n)=n(n+2).
La solution générale est donc 1+n(n+2)=(n+1)² (solution donnée par Wolfram!)
Mais bon, pour un 1ère S, il faut oublier.....

[inviteea028771]

En fait Jon83, à partir du moment ou tu as écris :

U(n+1)-U(n) = 2n + 3

On peut facilement, et sans faire appel à une théorie mathématique poussée, obtenir la valeur de U(n) directement :

On fait la somme de toutes ces égalités pour k variant de 0 à n-1 :



On remarque à gauche une somme télescopique, et on calcule la somme à droite :

U(n)-U(0) = n(n-1) + 3n

On remplace U(0) par sa valeur et on regroupe tout du même coté :

U(n) = n² + 2n + 1 = (n+1)²


Bon, après si la relation de récurrence est U(n+1) = 2U(n) + 2n +3, impossible d'y arriver par cette méthode

[Jon83]

En fait Jon83, à partir du moment ou tu as écris :
U(n+1)-U(n) = 2n + 3
On peut facilement, et sans faire appel à une théorie mathématique poussée, obtenir la valeur de U(n) directement :

Bon, après si la relation de récurrence est U(n+1) = 2U(n) + 2n +3, impossible d'y arriver par cette méthode

Bonjour!
Tu as raison, ta méthode est beaucoup plus simple, plus élégante et à la portée d'un élève de 1ère S.... Merci pour tes indications!
Pour la récurrence que tu cites: U(n+1) = 2U(n) + 2n +3 , la méthode générale permet d'arriver facilement à la solution (confirmée par Wolfram!)
NB: j'ai vu aussi qu'il existait une transformation dite "transformation en Z" qui permettait de résoudre des équations récurrentes, mais bon, c'est d'un bon niveau L3 et +, bien loin de la 1ère S!!!!

[invite03f2c9c5]

Pour l’énoncé du début, c’est tout de même beaucoup plus simple ! Il suffit de calculer les premiers termes de la suite et d’ouvrir les yeux pour deviner l’expression du terme général de la suite. On prouve ensuite le résultat observé par récurrence (cet exercice est tiré d’un sujet de baccalauréat récent et ne fait appel à aucune technique sophistiquée, on est en revanche en droit d’attendre qu’un lycée reconnaisse des carrés parfaits).