Devoir pour la rentrée 2011

[invite8c103a81]

Enoncé : ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 10cm.
H est le pied de la hauteur issue de A.
On note x la longueur du segment [BC]

Objectif du devoir : Etudier les variations de l'aire du triangle ABC lorsqu'on fait varier la longueur x du coté [BC].

Partie A : Découverte d'une fonction et tracé de sa courbe
1) Faire une figure
2) a) Calculer la valeur exacte de AH et l'aire S du triangle ABC pour :

• x = 4

• x = 10

b) Pourrait-on avoir x = 22 ? Pourquoi ?
c) Entre quelles valeurs x peut-il varier ?

3) a) Exprimer HC puis AH en fonction de x
b) On note f(x) l'aire du triangle ABC.
Démontrer que f(x)= x fois ( raciné carré de 400-x²)/4
c) Dresser un tableau de valeurs de f(x) pour x prenant toutes les valeurs entieres comprises entre 0 et 20. On arrondira les résultats au dixieme.
d) Placer dans un repère, sur une feuille de papier millimétré les points de coordonnées (x; f(x)) du tableau précedent.
( Unités : 1 cm pour 1 en abscisses et 1 cm pour 5 en ordonnées )
e) Tracer la courbe représentative de la fonction f.

Partie B: Recherche de l'aire maximale
On admet que l'aire ABC est maximale pour une valeur de x₀ de x.

1) A l'aide du tableau précedent ou de la courbe tracée, encadrer x₀, entre deux entiers le plus précisement possible.
2) Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissantles valeurs de f(x) assez astucieusement pour pouvoir répondre a la question 3) suivante.

x | 14.1 | 14.11 | 14.12 | 14.13 | 14.14 | 14.15 | 14.16
f(x) | ..... | ...... | ..... | ..... | ...... | ...... | .......

3) En déduire un encadrement le plus précis possible de x₀ puis un arrondi a 0.1 près de x₀ .
4) a) Faire une figure avec la valeur arrondie précédente.
b) Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature du triangle ABC obtenu ?
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[invite371ae0af]

je pense que tu devrais chercher ton devoir et revenir avec des questions sur ce que tu ne sais pas car je pense que personne ne va faire le devoir à ta place

[shokin]

Salut,

N'oublie pas de saluer et de dire ce que tu as réussi à faire.

Pour exprimer la hauteur (puis l'aire) en fonction de x, et avec les côtés isométriques connus, tu peux utiliser le théorème de Pythagore.

2b)c) Là, tu peux te rappeler de l'inégalité triangulaire.



Shokin

[invite8c103a81]

J'ai réussi jusqu'a la question 3)a). Après je comprend pas du tout :/ Aidez moi s'il vous plait. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

f(x)=aire du triangle
~ f(x)=b*h/2
~ f(x)=x*h/2

Transforme alors h en son expression en fonction de x et tu auras ta fonction que tu pourras analyser. En effectuant, tu trouveras :

y= f(x) = x*(raciné carré de (400-x²))/4

Ensuite, tu calcules f(1), f(2), f(3), ... , f(19), f(20) et tu inscris le tout dans un tableau à deux colonnes, dont les en-tête sont x et y.

Places ces points, que sont (1;f(1)), (2;f(2)), etc., dans un repère selon les directives indiquées.

Pour la valeur maximale, elle sera comprise entre 14 et 15.

Retrouve des points plus précis dont les premières coordonnées respectives varient entre 14 et 15. [De nouveau, en calculant f(14.1), f(14.2), ..., f(14.9).]

Pour la conjecture, calcule la longueur de la hauteur issue de A pour le triangle à l'aire maximale.



Shokin

[invite8c103a81]

Je ne comprend pas ton raisonnement et ta facon de procéder pour la question 3)b Pourrais tu reformuler d'une autre facon s'il te plait Shokin, merci d'avance

[shokin]

Mes explications portaient sur l'ensemble des questions (pas seulement sur la 3b).

As-tu déjà réussi à exprimer h en fonction de x ? Si oui, qu'as-tu trouvé ?

Te rappelles-tu de la formule de l'aire du triangle (à partir de sa base et de sa hauteur qui sont perpendiculaires entre elles) ?



Shokin

[invite8c103a81]

J'ai mis AH= racine carré de AB²-BH².
La formule de l'aire c'est 0.5*b*h non ?

[invite8c103a81]

Merci Shokin tu m'as beaucoup aidé pour la partie A mais pour la partie B, la 1) , 3) et 4) questions je ne comprend pas avec x₀.
Aide moi Merci d'avance.

[shokin]

J'ai mis AH= racine carré de AB²-BH².

Exactement.

AB = 10
BH = x/2

La formule de l'aire c'est 0.5*b*h non ?

Exactement.

b = x
h = AH = racine de (AB²-BH²)

f(x)=Aire = x*AH = x*racine de (AB²-BH²)

Tu exprimes tout en fonction de x, puis tu as alors ta fonction.



Shokin

[shokin]

Pour la partie B, il s'agit alors - maintenant qu'on a la fonction - de trouver le x₀ qui maximise l'aire. C'est-à-dire, le x₀ tel que :

Pour tout x_i différent de x₀ et élément de l'intervalle ]0;20[ (en raison de l'inégalité triangulaire), f(x₀)>=f(x_i).

Dans le tableau effectué à l'exercice A3c), tu vois que les aires (f(x)) les plus grandes sont celles f(14) et f(15). Donc tu as l'encadrement / l'intervalle ouvert [14;15] dans lequel se trouve le x₀. Bon, ne te fais pas d'illusion, le x₀ n'est pas un nombre rationnel : tu ne peux pas l'exprimer sous forme de fraction de deux entiers, tu ne peux que l'arrondir pour le moment. [Il y a un moyen de le trouver précisément, algébriquement, mais avec les fonctions dérivés.]

Une fois le B2) fini, tu peux faire la même chose, à une décimale plus précise. Tu trouveras alors que f(14.1) et f(14.2) sont les deux plus grandes aires. Donc ton encadrement/intervalle est plus précis : x₀ est élément de [14.1;14.2], et même x₀ est élément de l'intervalle [14.14;14.15].

Pour le B4b), calcule h=AH avec x₀ = 14.14 . Que remarques-tu ?



Shokin

[invite8c103a81]

Mais le x₀ je ne comprend pas ce que sa veut dire, j'ai pas appris sa en 3e.

[invite8c103a81]

Je ne pas compris ton raisonnement, peut-tu le reformulez s'il te plait. Merci

[shokin]

Dans l'exemple, x_i est une généralité.

x₀ n'est qu'un exemple particulier, celui que l'on cherche, mais dont on ne connaît pas encore la valeur. C'est l'inconnue.

Ne te laisse pas impressionner par le fait qu'il y ait un "0" en indice. On aurait tout autant pu l'appeler s, a, m ou Sam.

Parmi, les x_i de cet exercice, il y en a un dont l'image est plus grande que les images de tous les autresx_i. Et il a été appelé
x₀, alors qu'on ne connaît pas sa valeur, mais on cherche cette valeur. x₀ est appelée alors une inconnue. [Qu'on aurait pu appeler a, b, c... ; de nouveau, ne te laisse impressionner par le 0 en indice. Tu aurais aussi pu t'appeler Manon-59, Manon-314 ou Manon-007...]

Pour la recherche d'un nombre, admettons que je te fasse deviner un nombre entier dans l'intervalle [0;64]. Si le nombre n'est pas juste, je te dis "plus grand" ou "plus petit". Comme il y a deux possibilité, tu vas diviser l'intervalle en deux intervalles [0;32] et [32;64]. Ainsi les deux intervalles sont "équilibrés", et tu commenceras par essayer avec 32. Si je te dis "non, c'est plus petit", alors tu pourras éliminer les entiers dans l'intervalle [32;64]. Ensuite, tu vas tenter le 16... et ainsi de suite.

Dans l'exemple, c'est la même chose, que l'intervalle est divisé en dix (on écrit en base 10). Autre différence, ce n'est pas moi qui choisit le nombre, c'est la fonction qui définit f(x₀). Et il s'agit de chercher le f(x₀), par tâtonnements (car vous n'avez pas encore vu la méthode pour trouver la solution sous sa forme algébrique ; la méthode pour trouver un maximum ou une minimum).

Tiens, écris-moi les réponses que tu as trouvées pour :

f(1) = _____
f(2) = _____
f(3) = _____
f(4) = _____
f(5) = _____
f(6) = _____
...
f(18) = _____
f(19) = _____



Shokin

[Eurole]

Bonjour.
Je pense que Manon-58 tirerait profit de dessiner le problème, ce qui lui est demandé deux fois.
Pour l'aider dans cette méthode qui a l'avantage de visualiser un ensemble, la figure jointe reprend trois cas déjà évoqués.

• x=4 et x=10 (dans la question 2a)
• x=19 (dans le message de shokin)

http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

[invite8c103a81]

f(1)=4;75
f(2)=9
f(3)=12.75
f(4)=16
f(5)=18.75
f(6)=21
f(7)=22.75
f(8)=24
f(9)=24.75
f(10)=25
f(11)=24.75
f(12)=24
f(13)=22.75
f(14)=21
f(15)=18.75
f(16)=16
f(17)=12.75
f(18)=9
f(19)=4.75
f(20)=0
C'est bon ?

[Eurole]

Je ne trouve pas les mêmes résultats (en attendant le retour de shokin à qui je laisse la main)
Ces calculs sont basés sur quels raisonnements ?
A demain.

[invite8c103a81]

Je ne trouve pas les mêmes résultats (en attendant le retour de shokin à qui je laisse la main)
Ces calculs sont basés sur quels raisonnements ?
A demain.

J'ai utilisé l'expression que j'ai : x fois racine carrée 400 - x² / 4

[shokin]

Je n'ai pas non plus ces résultats.

Quand tu écris, écris toujours précisément les parenthèses.

f(x) = x*(racine carrée de(400-x²))/4

Et je trouve :

f(1) = 4.99
f(2) = 9.94
...
f(13) = 49.39572
f(14) = 49.989...
f(15) = 49.6078
...
f(19) = 29.6637

Tu remarqueras que f(12) = f(16) = 48 exactement (même si ce n'est pas cela qui nous intéresse).

Alors sois tu as mal copié la formule, soit tu as fait des erreurs de calcul. Je soupçonne plus le premier cas.



Shokin

[invite8c103a81]

Sur ma feuille d'énoncé le 400-x² n'est pas entre parenthèses. Puis n'oublie pas, j'ai un graphique a faire après donc si j'ai tes résultats sa risque d'etre très dur pour moi.

[shokin]

La formule de l'aire en fonction de x que tu as est bien la suivante ?

(où y = ff(x) = aire du triangle)

En fait, c'est bien celle-ci que je trouve.

Comme je ne connaissais pas le LaTex, j'avais mis une parenthèse. A cause de toi, je m'y suis donc mis.



Shokin

[invite8c103a81]

Oui c'est celle-ci, et avec cette fonction je trouve les résultats que je t'ai dit.

[shokin]

Dans ce cas, soit tu as fait des fautes de calcul soit tu as mal utilisé la calculatrice.

Ce qui est bizarre est le fait que tu obtiens plein de 0.75 une fois sur deux...



Shokin

[shokin]

Je soupçonne plutôt la deuxième variante (calculatrice mal utilisée) car tes réponses correspondent à la fonction :





Shokin

[invite8c103a81]

J'ai refait tout les calculs, et j'ai bien relu la consigne, ils disent d'arrondir les résultats au dixième. Je trouve :
f(0)=0
f(1)=5
f(2)=10
f(3)=14.8
f(4)=19.6
f(5)=24.2
f(6)=28.6
f(7)=32.8
f(8)=36.7
f(9)=40.2
f(10)=43.3
f(11)=46
f(12)=48
f(13)=49.4
f(14)=50
f(15)=49.6
f(16)=48
f(17)=44.8
f(18)=39.2
f(19)=29.7
f(20)=0
Est-ce les bons résultats ?
Mais si c'est sa, j'arriverai jamais a les placer sur la feuille de papier millimetré.

[shokin]

Voilà ! c'est cela ! (en arrondissant)

La solution réelle (sans arrondi) se situe entre 14 et 15, et donne effectivement une aire maximale égale à 50.

Tu dois ensuite faire de même pour f(14.1), f(14.2), ..., f(14.9) pour que "ça chauffe" (te rapprocher du résultat).

Une fois que tu auras trouvé une valeur de x, de telle manière à ce que l'air soit maximisée, calcule AH en fonction de cette valeur x. Que remarques-tu ? (pour la conjecture)



Shokin

[invite8c103a81]

Je trouve 49.99 a chaque fois, et il faut arrondir donc j'ai mis 50. C'est ca ?

[invite8c103a81]

Mais comment je vais faire pour mon graphique ? Comme unités j'ai : 1 cm pour 1 en abscisses, et 1 cm pour 5 en ordonnées.

[invite8c103a81]

Voilà ! c'est cela ! (en arrondissant)

La solution réelle (sans arrondi) se situe entre 14 et 15, et donne effectivement une aire maximale égale à 50.

Tu dois ensuite faire de même pour f(14.1), f(14.2), ..., f(14.9) pour que "ça chauffe" (te rapprocher du résultat).

Une fois que tu auras trouvé une valeur de x, de telle manière à ce que l'air soit maximisée, calcule AH en fonction de cette valeur x. Que remarques-tu ? (pour la conjecture)



Shokin

Donc, il faut que j'arrondisse encore plus ? Que je mette :
f(1)=5
f(2)=10
f(3)=15
f(4)=20
f(5)=24
f(6)=29
f(7)=33
f(8)=37
f(9)=40
f(10)=43
f(11)=46
f(12)=48
f(13)=49
f(14)=50
f(15)=50
f(16)=48
f(17)=45
f(18)=39
f(19)=30
f(20)=0 ?

[shokin]

Là où tu trouves chaque fois 14.99 (en arrondissant), j'aurais tendance à être plus précis, à aller jusqu'à la décimale qui me permette de savoir si la fonction est croissante ou décroissante. En l'occurrence, carrément cinq chiffres après la virgule.

Mais pour le graphique, ça va être carrément impossible. Mais le graphique est un des seuls éléments où l'on puisse se permettre quelques libertés : modifier les graduations. Ce que tu peux faire, c'est faire un deuxième graphique :

- dont l'abscisse va de 14.1 à 14.2 (avec 1 cm pour 0.01)
- dont l'ordonnée va de 49.999 à 50.000 (avec 1 mm pour 0.00001)



Shokin