Séries imaginaires

[invitedd654e81]

Bonjour, je suis bloqué avec un exercice sur les séries imaginaires où l'on a :

1 - i + i^2 - i^3 + i^4 -i^5 ........+ i^2008 - i^2008 + i^2010

Comme je sais que i^2 = - 1 , et que -i^3 = +i, j'en conclus qu'à chaque 4 termes, on obtient 0. J'ai vu en cours qu'il suffit de savoir à quel terme on en est à la fin de la série pour savoir ce que sera la somme en utilisant i^4k+1 ou je ne sais plus trop quoi.

Moi, j'ai obtenu 0, mais la réponse était -i, quelqu'un pourrait-il me l'expliquer svp ?
-----

[Jon83]

Bonsoir!

Il suffit de remarquer que ton expression est la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme=1 et de raison q=(-1)i=-i
En utilisant la formule et en simplifiant, tu trouveras -i
Au revoir!

[invitedd654e81]

Merci pour votre réponse, mais j'ai un peu de mal avec votre formule, j'obtiens Sn = (1+i^2011)/(1+i) et ensuite en multipliant par le conjugué du dénominateur j'ai Sn = (1 - i + i^2010 - i^2011)/2 , j'ai surement dû faire une erreur quelque part ou peut être n'ai-je pas bien saisi la formule.

[Jon83]

1) Ce n'est pas ma formule! C'est la formule que l'on obtient quand on calcule la somme des termes d'une suite géométrique!!!
2) Ton expression de Sn est correcte, mais le développement est faux! Vérifie tes calculs....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Sinon, pour partir de ton observation, et sans utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique : comme tu l'as remarqué, on a . De même, . On démontre facilement (récurrence) que si est un entier naturel, alors . En particulier, . Donc, la somme que tu cherches à calculer est exactement égale à .

Mais je t'encourage à essayer aussi avec la méthode de Jon83. Il ne faut pas oublier de simplifier quand c'est possible : si on voit un qui se trimbale tout seul, autant le remplacer tout de suite par !


Rappel au passage : .

[invitedd654e81]

Ah d'accord, je vois. Merci pour vos réponses j'ai pu finir le reste de l'exo sans trop de mal.