Affixes des nombres complexes

[invite65d9650b]

Bonjour/Bonsoir,

J'ai du mal à répondre aux questions suivantes..

Enoncé: plan complexe P, repère ortho direct d'origine O, et 2 points A(-1) et B(1).
a tout point m de P d'affixe non nulle z, on associe le point M d'affixe Z telle que Z=1/2(z+(1/z)).
f l'application qui à m(z) fait correspondre M(Z)..

1.dans cette question, z est un nombre complexe NON REEL. soit m' le point d'affixe z barre.

b) determiner l'affixe ω du centre Ω du cercle passant par m, A, B.

-j'ai fait |-1-ω| = |1-ω| càd ce centre est sur l'axe des ordonnées, mais après comment determiner où il est exactement.. calculer |z-ω| en sachant que ω est imaginaire pur?

montrer que m'' d 'affixe 1/z appartient à ce cercle.
-est-ce qu'il faut procéder de la même façon et calculer les modules de z-ω et (1/z)-ω, par exemple?

en deduire une construction de M connaissant m.
-cela ne semble pas être très difficile à faire, mais vu qu'il fallait en deduire des question précédentes que j'ai pas faites..passons.

3) Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 . Determiner l'image de C par f.
-déjà c'est un cercle trigonométrique, mais je ne suis pas sur si cela peut bien m'aider..
ensuite je sais que l'image d'un cercle (par une similitude) est un autre cercle de meme rayon
et après ça coince..

voilà si quelqu'un pouvait me donner des indices, pas forcement pour toutes les questions
Je vous remercie d'avance
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[invite65d9650b]

quelqu'un pour la question b) au moins s'il vous plaît?

[inviteea028771]

En posant z=x+iy et ω=it, il faut alors résoudre (l'inconnue est t):

| z-ω |² = | 1-ω |² <=> x² + (y-t)² = 1 + t²

Après tu peux poser x²+y² = |z|² et y= Im(z) pour faire juste apparaitre z.

Pour m'' c'est un peu plus pénible, tu as 1/z = (x-iy)/(x²+y²), tu peux donc calculer :
|1/z - ω|² et |1-ω|².
Je te conseille de développer judicieusement (c'est à dire le moins possible) pour éviter de rendre les calculs infernaux.

Pour construire M, il faut remarquer plusieurs choses :
- M est le milieu de m et m''
- m'' est sur le cercle
- m'' appartient à la droite symétrique à la droite (Om) par rapport à l'axe des abscisses

Pour cette dernière assertion, on peut en effet montrer que arg(1/z) = - arg(z) :
Soit z = a*e^(iy), alors 1/z = 1/(a*e^(iy)) = 1/a*e^(-iy).