Petit problème de récurrence

[invite7deee56e]

Bonjour,

Je me retrouve avec l'inéquation suivante et je ne sais pas résoudre l'hérédité malgré les informations que j'ai trouvé sur internet :

|sin(nx)| < n |sin(x)| ( < est un plus petit ou égal sur cette inéquation)

initialisation :
Pour n = 0 , on trouve : |sin(0x)| < 0 . |sin(x)| = 0 < 0 . Donc pour n = 0 l'inéquation est vraie

Hérédité :
Maintenant je sais que la fonction sinus est une fonction pair et périodique définie sur [0 ; +infini] mais je ne sais pas comment je peux résoudre l'hérédité.

Merci d'avance pour vos réponse,
Clément
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[invite332de63a]

Bonjour,
Soit , supposons la propriété vraie en donc

donc

De plus on a et

donc

donc

donc

donc d'où l'hérédité

[danyvio]

Maintenant je sais que la fonction sinus est une fonction pair

C'est nouveau ?

[invite7deee56e]

Je ne comprend pas la 3ème ligne de la réponse, comment tu intègre cosinus a l'inéquation de sorte a ce qu'il se retrouve que d'un seul côté ?

C'est nouveau ?

Effectivement je me suis trompé , c'est une fonction impair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

On a et donc et

donc