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Problème récurrence



  1. #1
    philactete

    Problème récurrence


    ------

    Bonjour, je suis un peu perdu dans la récurrence,

    Je suis sensé démontrer que quel que soit n: n < 2^n mais je ne sais pas comment m'y prendre.

    Pour n=0 la propriété est vraie (0<2^0 puisque 2^0 = 1) mais après je suis perdu. Si je suppose vraie
    n < 2^n comment puis-je passer au rang n+1 ?

    Merci beaucoup de votre aide !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Antho07

    Re : Problème récurrence

    il faut montrer que si alors

    je l'ai écris dans ce sens volontairement.

    On part de

    Il faut travailler là dessus.
    Il faut faire apparatre , comment faire?

  4. #3
    philactete

    Re : Problème récurrence

    En réfléchissant voici ce que j'ai trouvé, qu'en pensez vous ?

    On suppose 2^n>n d'où 2^n-n>0

    2^n+1 = 2^n x 2 d'où 2^n x 2 > 2n <=> 2^n +1 > 2n

    on a n-1< n et n < 2n d'où n-1 < 2n dès lors n-1<2^n +1

    d'où 2^n +1 - n +1 > 0, donc la propriété est vraie au rang n+1.

  5. #4
    Antho07

    Re : Problème récurrence

    c'est ça. un poil plus rapide:



    car des lors que .

    Il suffit alors d'initialiser à n=0 et n=1 et le tour est joué

  6. #5
    MMu

    Re : Problème récurrence

    Il y a aussi une preuve directe si l'on connait la formule du binôme :
    ...

  7. A voir en vidéo sur Futura

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