Bonjour, je suis un peu perdu dans la récurrence,
Je suis sensé démontrer que quel que soit n: n < 2^n mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Pour n=0 la propriété est vraie (0<2^0 puisque 2^0 = 1) mais après je suis perdu. Si je suppose vraie
n < 2^n comment puis-je passer au rang n+1 ?
Merci beaucoup de votre aide !
il faut montrer que sialors
je l'ai écris dans ce sens volontairement.
On part de
Il faut travailler là dessus.
Il faut faire apparatre
En réfléchissant voici ce que j'ai trouvé, qu'en pensez vous ?
On suppose 2^n>n d'où 2^n-n>0
2^n+1 = 2^n x 2 d'où 2^n x 2 > 2n <=> 2^n +1 > 2n
on a n-1< n et n < 2n d'où n-1 < 2n dès lors n-1<2^n +1
d'où 2^n +1 - n +1 > 0, donc la propriété est vraie au rang n+1.
c'est ça. un poil plus rapide:
car
Il suffit alors d'initialiser à n=0 et n=1 et le tour est joué
Il y a aussi une preuve directe si l'on connait la formule du binôme :
