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Problème de récurrence.



  1. #1
    Cnspike

    Problème de récurrence.


    ------





    Voici une fiche d'excercice. D'abord je tiens à préciser que :
    - ce n'est pas un DM donc je ne viens pas pomper des réponses bêtement
    - j'aimerai plus une aide en formee d'ouverture qu'un exercice tout fait




    J'ai réussi le 1 sans aucun probleme.

    Le 2 : a sans problème. Je bloque néanmoins sur le b.
    j'ai réussi sans problème l'initialisation mais je bloque ensuite ici :

    Sn+1 = (n(n+&) (2n+1) + 6) / 6 + (n+1)²

    Je ne sais que faire apres ? Multiplié mon dernier terme par 6 pour pouvoir l'ajouter au premier terme ? Mais je semble ensuite m'éloigner..




    Exercice 3 :

    Je crois que la formule est :

    nbre de terme
    SIGMA
    p = premier terme

    Mais je ne suis pas du tout sur..


    Ainsi pour le b) j'aurai :
    21
    SIGMA
    p= 3^3

    ?

    Ensuite pour les autres j'ai aucune idée et ne trouve rien ni dans mon livre, mon cours de l'an dernier ou bien meme des manuels d'aide..



    Exercice 4 :




    Exercice 5 : Aucune idée :s




    Merci à tous ceux qui essaieront de m'aider

    -----

  2. #2
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    Bonjour!

    Quel coïncidence j'ai fait l'exercice 2 en classe ce matin.

    Donc la récurrence, toujours en trois étapes:

    1) Base de la récurrence : P(n0) est-elle vraie?

    2) H.R (hypothèse de récurrence) : P(n) est vraie

    3) P(n+1) est-elle vraie ( se servir de H.R)... si oui alors P(n) est vrai pour tout n.


    P(n) c'est la propriété à vérifier. Soit dans notre cas l'égalité suivante:

    Sn=12+22+32+...+n2 = [n (n+1) (2n+1)]/6 (je ne trouve pas le symbole de la somme désolé)

    n0 c'est la première valeur de n. n appartenant à N* on a n0=1





    Bon commençons...


    1) P(n0) est-elle vraie? <=> Sn0 = [n0 (n0+1) (2n0+1)]/6 ?

    Tu calculs Sn0, tu trouves alors Sn0=12=1

    Puis [n0 (n0+1) (2n0+1)]/6 en remplaçant par n0 tu trouves 1.

    P(n0) est donc vraie. (ça tu l'as déjà fait mais c'est pour partir sur de bonnes bases)





    2) H.R: Sn=12+22+32+...+n2 = [n (n+1) (2n+1)]/6





    3)P(n+1) est-elle vraie? <=> Sn+1 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 C'est là que tu coinces...

    Sn+1 = 12+22+32+...+n2+(n+1)2 = Sn+(n+1)2

    Utilise alors H.R:

    Sn+1 = [n (n+1) (2n+1)]/6 + (n+1)2



    A partir de là c'est que du calcul...

    Met au même dénominateur:

    [[n (n+1) (2n+1)] + 6(n+1)2]/6

    Là tu remarques un facteur commun : (n+1)

     Cliquez pour afficher


    Tu développes le numérateur:

     Cliquez pour afficher


    Voilà une forme bof bof...

    Essayons alors de partir de [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6:

     Cliquez pour afficher

    D'où, Sn+1 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 est vraie

    D'après le théorème de récurrence, tu peux affirmer que ta propriété P(n) : Sn=12+22+32+...+n2 = [n (n+1) (2n+1)]/6
    est vraie pour tout n appartenant à N*

    Youpi.

    En espérant t'avoir aider. Au revoir.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

  3. #3
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    Re-bonjour!

    Voilà!!! J'ai trouvé la solution à notre problème à savoir:

    (je ne trouve pas le symbole de la somme désolé)
    http://forums.futura-sciences.com/sh...6558#post96558

    Ainsi plus de problème pour se faire comprendre!


    Désolé pour une petite erreur...

    Cliquez pour afficher
    On développe et oh surprise!!!

    c'est égal à : (2n3+9n2+13n+6)/6

    Je regarde ton exercice 3, ça m'entraine aussi.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

  4. #4
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    EXERCICE 3

    Petite intro: se lit sigma. Il désigne la somme des termes de suites récurrentes et plus si affinités...

    -A droite de ce symbole il y a une formule qui exprime tout les termes en fonction d'un nombre k: formule de récurrence de la suite????
    -En dessous du symbole il y a k=x ou x est la première valeur de k
    -Au dessus du symbole c'est la dernière valeur de k, ainsi si tu soustrait à cette valeur x tu obtiens le nombre de termes. Voilou!




    A)
     Cliquez pour afficher


    B)
     Cliquez pour afficher


    C)
     Cliquez pour afficher


    D)Désolé je ne vois pas comment m'y prendre... je vais y réfléchir.

    E)
     Cliquez pour afficher


    Je regarde la suite une prochaine fois. Au revoir.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    A)
     Cliquez pour afficher


    B)
     Cliquez pour afficher


    C)
     Cliquez pour afficher


    D)Désolé je ne vois pas comment m'y prendre... je vais y réfléchir.

    E)
     Cliquez pour afficher


    Désolé mauvaise manipulation, comme ça c'est mieux.
    Dernière modification par Bigben 007 ; 08/09/2008 à 19h32.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

  7. #6
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    A)
     Cliquez pour afficher


    B)
     Cliquez pour afficher


    C)
     Cliquez pour afficher


    D)
    Désolé je ne vois pas comment m'y prendre... je vais y réfléchir.

    E)
     Cliquez pour afficher


    Re-désolé, je reviens du test je commence à maitrîser LaTex. Encore désolé.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

  8. #7
    Bigben 007

    Re : Problème de récurrence.

    Bonjour!

    J'espère que mon explication du symbole de la somme t'as bien servi.
    J'ai trouvé le d) (j'avais mal lu )

     Cliquez pour afficher


    Exercice 4:

    Bon ben... tu crois quand même pas que je vais te le faire, si tu as compris comment marche alors tu as tout compris!!!

    Tu commences par faire l'inverse de ce qu'il fallait faire dans l'exercice 3 et puis tu regardes ce qui se calcul et ce qui se simplifie, ok?



    Exercice 5:

    A) Pas de souci, c'est très simple tu as juste à calculer...

    B) Là il te faut trouver quelque chose de la forme Sn+1=Sn + "je te laisses chercher". Tu démontres alors par récurrence que ta formule P(n) est vraie. Et c'est finit!!!

    Propose tes résultats s'il te plaît comme ça je comparerai avec les miens.

    Au revoir.
    Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des qui trouvent on en cherche.

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