Bonsoir à tous
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour mes résolutions d'équations?
Il faut résoudre:
a/ sin(3x)= sin(x+ pi/4) sur [0;pi/2]
b/ cos(2x)-sin(2x)= rac2/2
Ce que j'ai fais:
sin(3x)= sin(x+ pi/4)
3x= x+ pi/4 ou 3x= pi-x- pi/4
x= pi/8 4x= 3pi/4
x= 3pi/16
b/cos(2x)-sin(2x)= rac2/2
J'ai posé rac2 /2 = cos pi/4 ou sin pi/4
Mais en remplacant dans l'équation je ne m'en sors pas :/
Pour la b/, tu te compliques la vie en posant rac2/2 = Cos(Pi/4) ou Sin(Pi/4).
Il te suffit de passer ton équation au carré, puis de te servir des relations trigonométriques que tu connais (notemment le fait que Cos²a+Sin²a=1 et que Sin a*Cos b = (1/2)*(Sin(a+b)+Sin(a-b)), et tu devrais t'en sortir rapidement !
Comme tu me l'as dit voila ce que j'obtiens
cos²(2x)-sin²(2x)= rac2/2
2x(cos²-sin²)=rac2/2²
2x=1/2
x=1/2/2= 1/4
Est-ce bon?
Par contre pour la a) j'ai un doute j'ai l'impression que c'est faux
Ohh mon Dieu. Je n'ai jamais vu un calcul faux à ce point. L'élévation au carré doit se faire des deux coté de l'équation, dés la première ligne il faut élever √2/2 au carré (et mettre des parenthèses, (√2/2)² n'est pas égale à √2/2²).Envoyé par guess93
Pour la partie gauche de votre équation c'est (cos(2x)-sin(2x))² que vous avez, et je vous rappel que (a-b)² ce n'est pas égal à a²-b².
Pour la deuxième ligne, j'arrive même pas à y croire, vous sortez les arguments de leurs fonctions. Comme si cos(x) c'était un certain nombre noté "cos" multiplié par "x".
attention pour la première il faut mettre + 2kpi à chacune des équations ce qui modifie les résultats quand on divise par 2 ou par 4
pour la seconde quelle horreur ta technique
si tu peux revoir la technique de résolution de acosx +bsinx = c
pour ton exemple voici une démarche tu divises tout par rac(2) ( rac(a²+b²)
ce qui donne (1rac2)cos2x - (1/rac(2)) sin2x = 1/2 soit cospi/4cos2x - sinpi/4 sin2x= 1/2
et tu reconnais ...... ( cos(pi/4-2x) = cospi/3 a toi de terminer
Excusez moi sa semble logique pour vous mais moi sa fais longtemps que je n'ai pas fais sa et je ne sais vraiment plus comment faire je n'arrive même pas à terminer ce que vous avez commencé Pallas. J'essaye de chercher dans mon cours de première comment résoudre ces equations mais je n'y arrive tout simplement pas
Reprenons.
Tu as :
Cos(2x)-Sin(2x)= √2/2
Tu élèves au carré ton équation (tu dois l'élever au carré des deux côtés du signe = ! )
(Cos(2x)-Sin(2x))²=(√2/2)²
Or, tu sais que (a-b)²=a²-2ab+b² (c'est l'une des trois identités remarquables) et que (√2/2)²=(√2)²/2²=2/4=1/2 (Elever un quotient au carré, ça revient à élever son numérateur ET son dénominateur au carré. Et tu sais que (√2)²=2).
Tu obtiens alors :
Cos²(2x)-2*Cos(2x)*Sin(2x)+Sin²(2x)=1/2 (En fait, quand on écrit "Cos²x", cela signifie (Cos x)², c'est simplement une notation que l'on utilise car elle est plus pratique)
Ensuite, tu n'as plus qu'à utiliser le fait que Cos²x+Sin²x=1 et que Cos(a)*Sin(b)=(1/2)*(Sin(a+b)-Sin(a-b) (ici, a=2x et b=2x aussi)).
Maintenant, essayes de finir de résoudre cette équation !
juste un précision,
attention quand on élève au carré :
on a une implication , pas une equivalence.
par exemple a=b => a²=b² mais toutes les solutions de a²=b² ne satisfont pas a=b pour des histoires de signe.
Donc:
cos²(2x)-2cos(2x)sin(2x)+sin²(2x)= 1/2
2cos(2x)sin(2x)= 1/2(sin(2x+2x)+sin(2x-2x)
= 1/2(sin(4x)+ sin(0)
=1/2 sin(4x)
= pi/6 sin(4x)
cos²(2x)+sin²(2x) je sais que Cos²x+Sin²x=1;
sin(2x)= 2sin(x) cos(x); cos(2x)= cos²(x)-sin²(x) Je ne parviens pas à supprimer ce 2 pour pouvoir avoir 1 à l'éxpression
Pourquoi tu supprimes ton terme "2cos(2x)sin(2x)" en divisant ? Oo
Et pourquoi ta somme de sinus et cosinus se transforme soudainement en produit ?
Tu te compliques la vie et, en plus, tu fais des choses fausses !
De plus, je crois que tu n'as pas saisi un point sur lequel je vais donc m'attarder un petit peu.
Je t'ais dis que tu avais : pour tout x, Cos²x+Sin²x=1. J'écris "pour tout x" car c'est TRES important. Ca veut dire que tu peux remplacer x par n'importe quoi, Cos²x+Sin²x sera toujours égal à 1 !
Donc, dans ton exercice, tu n'as pas besoin de préciser que sin(2x)= 2sin(x) cos(x) et cos(2x)= cos²(x)-sin²(x).
Donc, à partir de l'expression "cos²(2x)-2cos(2x)sin(2x)+sin²(2x)= 1/2", que dois-tu faire ?
je remplace cos²(2x)+ sin²(2x)= 1 dans l'expression mais ce que j'ai fais pour pi/6 sa aussi c'est faux j'ai pas le droit de faire sa?
Dans ce cas pour le -2cos(2x) sin(2x) je peux faire apparaître des cos² et sin² pour que sa fasse 1 mais attention je pense que je vais un peu bricoler la:
cos²(2x)sin²(2x)= 1
Mais ce que j'avais essayer de faire c'est d'utiliser cette formule: sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a + b) + sin(a - b)) mais il me semble que je me suis trompée
sin(2x)cos(2x)= (1/2)(sin(2x + 2x) + sin(2x - 2x))
=(1/2)(sin(4x)+sin(0x)
= sin(4x)
Le 1/2 s'en va parce que j'ai multiplié le 2 qui était devant cos(2x)sin(2x) alors verdict...toujours aussi catastrophique?
bonjour,
je trouve aussi sin(4x)=1/2.
mais l'exercice n'est pas terminé.
il faut chercher les solutions en cherchant tous les 4x possibles
4x = pi/? +2kpi ( 4 solutions possibles pour x)
4x = pi-pi/? +2kpi ( idem)
ensuite ne pas oublier que tu a élevé au carré, donc toutes ces solutions ne sont pas bonnes !!!
celle pour lesquelles cos(2x)-sin(2x) est <0
comment je trouuve ces 4 solutions? je pense qu'on a pi/4 pour commencer mais je vois pasil faut chercher les solutions en cherchant tous les 4x possibles
4x = pi/? +2kpi ( 4 solutions possibles pour x)
4x = pi-pi/? +2kpi ( idem)
ben non,
sin(y)=1/2 ,
la première solution est pi/6 ( 30°),
l'autre piste est pi-pi/6
sans tenir compte des 2kpi
alors je commence
4x=pi/6 donc x=pi/24
4x=pi/6 + 2pi donc x=pi/24+pi/2
4x=pi/6 +4pi donc x=pi/24 +pi
4x=pi/6 +6pi donc x=pi/24+3pi/2
voilà pour la première moitié des solutions possibles
sauf que la moitié de ces solutions n'est pas bonne !
car quand tu as élevé au carré tu as inclus indirectement les cas ou cos(2x)-sin(2x)=-rac(2)/2
et pas rac(2)/2
donc se serait la meme chose avec le signe - devant chaque membre non?
????? quels membres ?
par exemple
si x=pi/24 on a bien en vérifiant cos(2x)-sin(2x)=rac(2)/2
mais si on prend x=pi/24+pi/2 qui pourtant satisfait bien sin(4x)=1/2
alors cos(2x)-sin(2x)=-rac(2)/2 donc n'est pas solution !!!
la première solution est pi/6 ( 30°),
l'autre piste est pi-pi/6
sans tenir compte des 2kpi
alors je commence
4x=pi/6 donc x=pi/24
4x=pi/6 + 2pi donc x=pi/24+pi/2
4x=pi/6 +4pi donc x=pi/24 +pi
4x=pi/6 +6pi donc x=pi/24+3pi/2
La deuxième solution serait pi/4
4x=pi/4 donc x=pi/16
4x=pi/4 + 2pi donc x=pi/16+pi/2
4x=pi/4 +4pi donc x=pi/16 +pi
4x=pi/4 +6pi donc x=pi/16+3pi/2
ensuite je fais avec pi/3 et pi/2 c'est sa?
ben non,
la deuxième piste est 5pi/6 et pas pi/4
sachant que dans chaquepiste il y a 4 reponses dont 2 ne sont pas valides ( à cause de l élévation au carré ).
au final juste 4 solutions à trouver !
Pour 5pi/6
4x=5pi/6 donc x=5pi/16
4x=5pi/6 + 2pi donc x=5pi/16+pi/2
4x=5pi/6 +4pi donc x=5pi/16 +pi
4x=5pi/6 +6pi donc x=5pi/16+3pi/2
S={4x=pi/6 donc x=pi/24
4x=pi/6 + 2pi donc x=pi/24+pi/2; 4x=5pi/6 donc x=5pi/16
4x=5pi/6 + 2pi donc x=5pi/16+pi/2}
presque, mais pas tout à fait.
en fait, j'avais prévenu au début qu'un passage au carré était très piégeux.
mais je n'ai pas voulu contredire Mezame.
il y a beaucoup, beaucoup plus simple.
ton intuition initiale était bonne mais utilisée différement.
en multipliant gauche et droite par rac2/2 on a
cos(2x)rac2/2-sin(2x)rac2/2=rac2/2*rac2/2 que l'on peut écrire
cos(2x)cos(pi/4)-sin(2x)sin(pi/4)=1/2 soit
cos(2x+pi/4)=1/2
d'ou
2x+pi/4=+/-(pi/3)+2kpi
en simplifiant on trouve bien les 4 solutions
avec
2x=pi/12 , 2x=pi/12 +2pi
2x=-7pi/12 , 2x = -7pi/12 +2pi
S= 2x=pi/12 , 2x=pi/12 +2pi
2x=-7pi/12 , 2x = -7pi/12 +2pi
oui,
mais tu m'as recopié ou tu est d'accord ?
reste à exprimer x , pas trop dur !
S={ pi/24; -7pi/24} pour k appartenant à Z
tu a oublié 2 solutions en routes .
et c'est quoi k app à Z ?
k appartenant à Z
S={ pi/24; -7pi/24; pi/24+2kpi;-7pi/24+2kpi}
c'est mieux?
presque.
mais il y a ls solutions pi/24 +pi et -7pi/24 + pi
puisque que tu as vu par exemple que 2x=pi/12 +2pi était solution
donc il y a 4 solutions de base
pi/24
pi/24+pi
-7pi/24
-7pi/24+pi
ensuite tu as raison il faut présenter toutes les solutions soit rajouter 2kpi à ces 4 là ( k dans Z )
Sa va si je fais ceci
S= { pi/24;pi/24+pi;-7pi/24;-7pi/24+pi}2kpi pour k appartenant à Z
pour moi c'est tout bon
Pour moi aussi alors
merci ansset de votre patience et de votre aide
