suite et récurrence

[invitea306da7c]

On considere la suite numérique (u) définie par u0=-1 et pr tt n entier naturel u_n+1= (3+2u_n)/(2+u_n)

1. Calculer les 3 premiers termes de la suite
2. Démontrer que (u) est une suite positive.En déduire la suite (u) est définie pr tt n entier naturel.
3.Démontrer que la suite (u) est majorée par rac3
4.Déterminer le sens de variation de la suite (u)

5. on considere la suite v définiepar vn=(u_n-rac3)/(u_n+rac3)
a. Montrer que la suite v est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
b. Donner l'expression de v_n en fonction de n, puis celle de u_n en fonction de v_n
c.Calculer la limite de v_n. En déduire la limite u_n

Pour la 2,3,4 il faut utiliser la méthode de récurrence

Mes réponses:

1. u1= (3+2u0)/(2+u0)= 1
u2= 5/3
u3= 19/11

2.Pour n=1 a-t-on u1>0; u1=1 donc u1>0 est vraie

Etape 2: Soit k en entier arbitrairement choisi on suppose que u_k>0 montrons que u_k+1>0
On a U_k> 0
3+2U_k > 3+2 x 0
(3+2U_k)/(2+U_k) > 3/2+0
U_n+1 > 3/2 > 0

La suite (Un) est donc positive pour tout n de N*

3.Etape 1:Pour n= 0 a-t-on u0<rac3
On a u0=-1 et -1<3 donc u0<rac3 est vraie

Etape 2: Soit k un entier arbitrairement choisi on suppose que u_k<ra3 montrons que u_k+1<rac3
On a (3+2u_k)/(2+u[SUB])<rac3
(3+2u_k)/(2+u[SUB])-rac3<0
[(3+2u_k)-2rac3-u_k*rac3]/(u_k+2)
[(2-rac3)(u_k-rac3)]/(u_k+2)

mais j'ai l'impression que c'est n'importe quoi a partir de la que conclure?

4.u_n+1-u_n=[ (3+2u_n)/(2+u_n)] -un
= ...
=(3+u_n²)/(2+u_n)
la suite un est croissante

Est-ce correct pour le moment?
-----

[invitea306da7c]

Pourriez vous me corriger?

[invite51d17075]

Mes réponses:

1. u1= (3+2u0)/(2+u0)= 1
u2= 5/3
u3= 19/11

2.Pour n=1 a-t-on u1>0; u1=1 donc u1>0 est vraie

Etape 2: Soit k en entier arbitrairement choisi on suppose que u_k>0 montrons que u_k+1>0
On a U_k> 0
3+2U_k > 3+2 x 0
(3+2U_k)/(2+U_k) > 3/2+0
U_n+1 > 3/2 > 0

re guess,
cette ligne est fausse.
si Uk>0 tu ne peux pas dire 1 /(2+Uk)>1/2 ( c'est même l'inverse )
mais tu peux ecrire
3+2Uk=4+2Uk-1=2(2+Uk)-1
donc
U(k+1)=2-1/(2+Uk)
et tu peux majorer 1/(2+Uk) et donc minorer U(k+1)