suite et récurrence
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suite et récurrence



  1. #1
    invitea306da7c

    suite et récurrence


    ------

    On considere la suite numérique (u) définie par u0=-1 et pr tt n entier naturel un+1= (3+2un)/(2+un)

    1. Calculer les 3 premiers termes de la suite
    2. Démontrer que (u) est une suite positive.En déduire la suite (u) est définie pr tt n entier naturel.
    3.Démontrer que la suite (u) est majorée par rac3
    4.Déterminer le sens de variation de la suite (u)

    5. on considere la suite v définiepar vn=(un-rac3)/(un+rac3)
    a. Montrer que la suite v est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
    b. Donner l'expression de vn en fonction de n, puis celle de un en fonction de vn
    c.Calculer la limite de vn. En déduire la limite un

    Pour la 2,3,4 il faut utiliser la méthode de récurrence

    Mes réponses:

    1. u1= (3+2u0)/(2+u0)= 1
    u2= 5/3
    u3= 19/11

    2.Pour n=1 a-t-on u1>0; u1=1 donc u1>0 est vraie

    Etape 2: Soit k en entier arbitrairement choisi on suppose que uk>0 montrons que uk+1>0
    On a Uk> 0
    3+2Uk > 3+2 x 0
    (3+2Uk)/(2+Uk) > 3/2+0
    Un+1 > 3/2 > 0

    La suite (Un) est donc positive pour tout n de N*

    3.Etape 1:Pour n= 0 a-t-on u0<rac3
    On a u0=-1 et -1<3 donc u0<rac3 est vraie

    Etape 2: Soit k un entier arbitrairement choisi on suppose que uk<ra3 montrons que uk+1<rac3
    On a (3+2uk)/(2+u[SUB])<rac3
    (3+2uk)/(2+u[SUB])-rac3<0
    [(3+2uk)-2rac3-uk*rac3]/(uk+2)
    [(2-rac3)(uk-rac3)]/(uk+2)

    mais j'ai l'impression que c'est n'importe quoi a partir de la que conclure?

    4.un+1-un=[ (3+2un)/(2+un)] -un
    = ...
    =(3+un²)/(2+un)
    la suite un est croissante

    Est-ce correct pour le moment?

    -----

  2. #2
    invitea306da7c

    Re : suite et récurrence

    Pourriez vous me corriger?

  3. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suite et récurrence

    Citation Envoyé par guess93 Voir le message
    Mes réponses:

    1. u1= (3+2u0)/(2+u0)= 1
    u2= 5/3
    u3= 19/11

    2.Pour n=1 a-t-on u1>0; u1=1 donc u1>0 est vraie

    Etape 2: Soit k en entier arbitrairement choisi on suppose que uk>0 montrons que uk+1>0
    On a Uk> 0
    3+2Uk > 3+2 x 0
    (3+2Uk)/(2+Uk) > 3/2+0
    Un+1 > 3/2 > 0
    re guess,
    cette ligne est fausse.
    si Uk>0 tu ne peux pas dire 1 /(2+Uk)>1/2 ( c'est même l'inverse )
    mais tu peux ecrire
    3+2Uk=4+2Uk-1=2(2+Uk)-1
    donc
    U(k+1)=2-1/(2+Uk)
    et tu peux majorer 1/(2+Uk) et donc minorer U(k+1)

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