Bonjour, voici mon problème, j'espere que vous allez pouvoir m'aider !
On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur R telle que pour tout réel x : f"(x) >= 0
Soit xo un réel fixé.
1) Soit la fonction g(x) = f(x) - [f'(xo)(x-xo) + f(xo)]
Calculer g'(x) et montrer que g'(xo) = 0.
Montrer que f' est une fonction croissante
En déduire que g(x) admet un minimum en xo egal à 0 et en déduire le signe de g(x).
Merci d'avance !
Bonsoir,
Vous remarquerez que g(x) est la différence entre f(x) et sa tangente en xo.
Qu'est qu'implique f" >= 0 pour f'.
Pour calculer g'(x) il suffit d'appliquer la définition de la dérivée, et vous savez que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées. Dans le second terme de g(x) seul x est variable.
Comprendre c'est être capable de faire.
Non, ça ne l'implique pas avant le baccalauréat ça ^^.Envoyé par phys4
Patynette, avez vous calculé g'(x) ? Qu'est ce que ça donne ? En particulier en x0 ?
Quand je calcule g'(x) :
[f(x)]' = f'(x)
[f'(xo)(x-xo)]' = f"(xo)(x-xo) + f'(xo)
[f(xo)]' = f'(xo)
Donc au final g'(x) = f'(x) - [f"(xo)(x-xo)+f'(xo)+f'(xo)] = f'(x) - f"(xo)(x-xo) - 2f'(xo)
Je sais que ce n'est pas bon, mais je ne vois pas où est mon erreur ! (je sais qu'il faudrait que je trouve g'(x) = f'(x)-f(xo) )
attention f'(xo) est un nombre donc sa derivée est ..zero !!
En effet ! Mais je n'obtiens toujours pas ce que je voudrait obtenir !
J'ai g'(x) = f'(x) - 2 f'(xo)
d'ou sort le -2 ?
dans la deuxième partie de la formule, il n'y a que x de dérivable, le reste ce sont des constantes en x0.
f(x0), f'(x0), f"(x0 ) sont des constantes pas des variables.
d'ou
g'(x)=f'(x)-f'(xO)
donc en x=x0 g'(x)=0
Oh oui d'accord javais applique lq derive de f(xo) = 0 qu'au premier terme, erreur d'etourderie !
Mais ensuite comment je peux prouver que lq fonction f est croissante ?
Enfete dans mon cours jai un theoreme qui me dit que si f'(x) >= 0 alors f(x) est croissante donc jai applique ce theoreme a l'exercice !
Mais pour demontrer que g admet un minimum en xo=0 je ne sais pas comment my prendre! Je sais que je dois surement faire un tableau de signe mais je ne my retrouve pas ! Merci de votre futur aide
Bravo Patynette pour avoir réussi à arriver jusque là.
Le théorème que tu cites, il faut appliquer a f"(x), pour en conclure que f'(x) est croissante. Comme g'(x) et f'(x) ne différent que d'une constante, il devient possible de faire un tableau des signes de g'(x) qui est nulle en xo.
A partir de ce tableau des signes il sera facile d'en conclure que g(x) passe par un minimum.
Courage c'est presque fini.
Comprendre c'est être capable de faire.
Bon je pense que je l'ai fais un peu à la va vite !
Mais dans mon tableau de signe j'ai posé que g'(x) est négatif sur ]-oo ; xo[ et positif sur ]xo ; + oo[ !
D'où g(x) décroit de ]-oo ; xo[ , et croit de ]xo ; +oo[ ! Donc la plus petite valeur est xo et g(xo) = 0
Puis ensuite pour etudier le signe de g(x), j'ai dit que puisque le minimun est 0, g(x) est strictement positif sur R !
pour moi c'est bon, mais comment as-tu montré que g'(x)<0 avant x0 et >0 après ?
Euh je l'ai admis ^^ Je ne sais pas comment le demontrer
je m'en doutais
en fait tu as déjà calculer g'(x) soit
g'(x)=f'(x)-f'(x0)
et tu sais aussi que f' est croissante ,
tu peux en deduire ce qu'il se passe pour g' avant ou après x0.
Mais justement si f'(x) est strictement croissante, g'(x) ne doit pas être strictement positive ?
f' est croissante donc
si x>x0 quel est le signe de f'(x)-f'(x0) ?
ou dit autrement estce que l'on a f'(x)>f'(x0) ou l''inverse ?
et si x<x0 ? même question
Cela c'était excellent, il ne faut pas revenir en arrière, seulement le refaire très rigoureusement.
Comprendre c'est être capable de faire.
