etude de fonctions

[invite1ff1de77]

bonjour!
comment etudie-t-on les polynome ayant le monome de plus haut degré >3
exp^5+3*x^4 etc
merci d'avance
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[matthias]

Il est difficile de répondre à ta question de manière générale. Pour ton exemple, x⁵ + 3x⁴, si j'ai bien compris, commence par factoriser par x⁴ et ça ira mieux.
Ceci dit, concernant la factorisation des polynômes, et je sais que ça ne permet pas nécessairement une étude complète des variations du polynôme, on peut montrer déjà qu'il n'y a pas de formule générale (genre utilisation du discriminant) pour obtenir les racines d'un polynôme de degré 5.
Donc, en fonction de ce que tu souhaites étudier et de ton niveau, les méthodes sont variables. La première chose à faire étant toujours de regarder si tu as des racines "naturelles" pas trop compliquées (genre dans {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 }.

Sinon, tu as tout un tas d'outils et de théorèmes qui peuvent servir, dont un que j'aime beaucoup :

Thérorème de Descartes :
Le nombre p de racines > 0 d'un polynôme à coefficients réels tous non nuls est au plus égal au nombre v de variations de signe que présente la suite des coefficients (et la différence v - p est paire)

ça ne te servira probablement jamais à rien, mais j'ai pas résisté

[invite4b9cdbca]

Bon au moins tu sais que la limite d'une fonction polynome est la limite de son terme de plus haut degré...

[matthias]

Je me rends compte que j'abuse carrément, car il me semble probable que le théorème que j'ai posté va faire réagir quelque personnes et risque de polluer ton fil.
Donc si vous voulez discuter du théorème de Descartes (dont j'ai une solution, c'est un exercice que j'ai eu en Khôlle il ya longtemps), on peut ouvrir un autre fil.

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Bon au moins tu sais que la limite d'une fonction polynome est la limite de son terme de plus haut degré...

Sérieusement, je ne sais pas quel est le niveau de The_strange (tu devrais préciser pour qu'on puisse t'aider plus précisément), mais ça ne me paraît pas du tout idiot de rappeler ce genre de choses

[invite1ff1de77]

mon niveau est léquivalent de 1ere S
en fait j'ai entendu parler d'autre chose
utiliser l'ensemble C pr étudier ces fonctions
en fait j'arrive pas a correler l'étude des fonctions au theoreme de descartes
any way merci Mathias et Kroon too

[matthias]

Oublie le théorème de Descartes, totalement inutile en 1ère, et d'ailleurs plutôt anecdotique de manière générale.
Bon tu as entendu parler de l'ensemble C (ensemble des nombres complexes), mais ne l'a donc probablement pas étudié en cours. Je ne veux donc pas essayer de t'emmêler les pinceaux de manière inutile.

Tu peux voir que certains polynômes du second degré ne sont pas factorisables dans IR (discriminant < 0). En introduisant un nombre "imaginaire" i tel que i² = -1, on peut construire un nouvel ensemble qui contient IR et qui s'appelle l'ensemble des nombres complexes (tous les nombres de la forme a + b.i où a et b sont réels).
Dans cet ensemble on peut factoriser tous les polynômes en produit de polynômes du premier degré ( mais éventuellement avec des coefficients non réels).
A noter : même dans IR, il est possible de factoriser tout polynôme en produit de polynômes du premier ou deuxième degré. Par contre certains polynômes du deuxième degré ne sont pas factorisables dans IR.

Bon, en première ça doit avoir l'air compliqué ...
N'hésite pas à demander pour des infos plus précises.

[matthias]

Si le sujet des nombres complexes t'intéresse vraiment, je suis sûr que beaucoup de "forumers" seront heureux de t'aider directement (dont moi) ou de t'indiquer des sites où tu peux en apprendre d'avantage, mais avant soit sûr de bien maîtriser les notions de première. C'est important, 1 parce que c'est nécessaire pour aborder des notions plus ardues, et 2, parce qu'il faut que tu gardes à l'esprit que tu ne pourras en aucun cas utiliser ces notions pour des examens.

[invitea77054e9]

Heu tout dépend de ce que tu veux étudier !

Calculer son polynome dérivé serait une bonne idée pour avoir les variation du polynome (on devrait dire fonction polynomiale mais bon, on va pas chipoter !).
Je suppose que tu a déjà abordé la notion de fonction dérivée.
Pour un polynome, c'est d'autant plus facile à calculer.

Si tu veux savoir où s'annule ton polynome, c'est assez simple. En plus pas besoin de passer par les nombres complexes, ici tout les valeurs qui annulent ton polynome (appellées racines du polynome) sont des nombres réels.
A savoir 0, et -3.
Comment trouver ces racines?
C'est simple, tu résouds l'équation x^5+3*x^4=0 <=> x^5=-3*x^4 <=> x=0 ou x=-3 . Attention 0 annule ton polynome 4 fois.
On peut résumer ça en remarquant que x^5+3*x^4=(x-0)(x-0)(x-0)(x-0)(x-(-3)), on voit bien apparaitre quatre fois 0 et une fois -3 . Mais cette derniere remarque sort du cadre de ton cours, donc à ne pas utiliser.

Bon pour trouver les limites, c'est assez simple, donc je te laisse le plaisir de le faire.

Je ne pense pas qu'on te demande d'étudier autre chose. Si je me trompe, fait le moi savoir.

[matthias]

C'est simple, tu résouds l'équation x^5+3*x^4=0 <=> x^5=-3*x^4 <=> x=0 ou x=-3 . Attention 0 annule ton polynome 4 fois.
On peut résumer ça en remarquant que x^5+3*x^4=(x-0)(x-0)(x-0)(x-0)(x-(-3)), on voit bien apparaitre quatre fois 0 et une fois -3 . Mais cette derniere remarque sort du cadre de ton cours, donc à ne pas utiliser.

En même temps, pour un première S vraiment intéressé par la question, il peut être intéressant (je me répète) de constater que :
f(x) = (x-a)ⁿ.g(x) => f'(x) = (x-a)^n-1(n.g(x)+(x-a).g'(x)) pour n 1 et g dérivable (notamment g polynôme bien sûr).
donc si a racine de f d'ordre n, a racine d'ordre (n-1) de f'

[invite4b9cdbca]

Ou alors tu dérives ta fonction, et tu essaies de factoriser la derivée pour avoir un produit en tre deux (ou plusieurs) polynomes de second degré.

ex : x^5+3x^4 se dérive ainsi : f'(x) = 5x^4+12x^3

tu factorise par... dison x² et tu obtiens : f'(x) = x²(5x²+12x) et le signe devient simple à trouver... Bon par contre, si tu as plus de deux membres, il faut tenter autre chose... comme séparer ta derivée pour pouvoir factoriser en deux produits de polynomes... A verifier.