Exercice de DM sur les Fonction

[invite82ddc94f]

bonjour, a tous j'ai un exercice a faire pour vendredi j'ai déjà fait la moitié mais je bloque sur 3 question ..

On considère la fonction f définie pour tout x DIFFERENT de 1 par : f(x) = x²-x+2/x-1
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère (O;I;J).
Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa représentation graphique .

1/ Déterminer le réel a tel que f(x) = x+a/x-1 (OK)
2/ Comparer f(x) et g(x) selon les valeurs de x.
3/ En déduire la position de C par rapport à D (Parle t-on des positions relative ?)
4/ Soit m un nombre quelconque
Pour chaque valeur de m, on considère la fonction affine h_m définie par :
h_m (x) = mx - m + 1
On note delta m sa représentation graphique.
a. Quelle est la représentation graphique de h₁ (OK)
b. Vérifier que A (1;1) est un point de delta m pour tout m. (OK mais j'ai un doute on fait : h_m (1) = mx1 - m + 1 ?)
c. Montrer que chercher les points communs de C et de delta m revient à résoudre l'équation
(E) : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0 (Pas vraiment compris :/)
d. Pour m=1, donner le nombre de solution de l'équation (E)
En donner une interpretation graphique (Interpretation = Dessin ?)

En rouge ou j'ai pas compris
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[invite427a7819]

Bonsoir !

Pour la 2), par défaut, quand tu cherches à comparer deux grandeurs, tu fais leur différence... Ici, que te donne f(x) - g(x) ?
Pour la 3), on parle effectivement des positions relatives. La comparaison que tu as établie juste avant doit te permettre de conclure.
Pour la 4c), ça vient de la caractérisation des ensembles C et delta m. C est l'ensembles des points de coordonnées (x, f(x)) et delta m l'ensemble des points de coordonnées (x, h_m(x)). Chercher l'intersection des deux ensembles, c'est donc chercher les points qui vérifient ces deux conditions.
Pour la 4d), l'interprétation n'est pas un dessin... On te demande de trouver le nombre de solutions de l'équation, et d'en déduire quelque chose sur ton dessin. Quel renseignement le nomber de solutions de (E) te donne sur tes courbes ?

Bonne soirée !

[invite82ddc94f]

2/ f(x) - g(x) me donne x+a/x-1 -x = a/x-1 si on barre les x
3/ Pour donné une position relative je fais le tableau de signe puis je dit .. en dessus de .. ? le tableau de signe vaut mieu le faire en question 2 ou 3 a ton avis ? stp
Pour faire la 4d faut trouvé la 4c déjà non ?
La 4c je bloque dans l'équation :/

[invite427a7819]

Comparer, c'est dire lequel des deux est le plus grand, donc être en mesure d'écrire f(x) < g(x) sur tel domaine et f(x) > g(x) sur tel autre. En général, c'est plus simple de comparer la quantité f(x) - g(x) à 0, et ça revient au même. Donc le tableau de signes, il vaut mieux le faire dans la 2 !

Pour la 4d, au pire, tu peux admettre le résultat donné en 4c.

Pour la 4c, l'idée, c'est de dire que les courbe se coupent si et seulement si le point M d'abscisse x a pour ordonnée f(x) et h_m(x)... C'est à dire f(x) = h_m(x). De là, en travaillant sur ton équation, tu devrais pouvoir te ramener à celle qu'ils te donnent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82ddc94f]

Ah merci tu ma grave aidé sur les questions
4c . J'arrive pas plus loin que sa :/

(E) : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
x² - mx² + 2mx - x + 3 - m = 0
x² - mx² + mx + mx - x + 1 + 2 - m = 0
hm(x) + x² - mx² + mx - x + 2 = 0
hm(x) + x² (1-m) - x (1-m) + 2 = 0 -> Je met tout sur x-1
hm(x) + x² (1-m) - x (1-m) + 2/(x-1) = 0/(x-1)
hm(x)/(x-1) + x² (1-m) -x (1-m) +2/(x-1) = 0
hm(x)/(x-1) + x² - x²m - x + xm + 2/(x-1) = 0
hm(x)/(x-1) + x² - x + 2/(x-1) - x²m - xm/(x-1) = 0
hm(x)/(x-1) + x + 2/(x-1) - m (x²-1)/(x-1) = 0
hm(x)/(x-1) + x + 2/(x-1) - m (x+1)(x-1)/(x-1) = 0
hm(x)/(x-1) + x + 2/(x-1) - m (x+1) = 0
hm(x) + f(x)(x-1) - m(x²-1) = 0
hm(x) + f(x)(x-1) = m(x²-1)

Ta une idée pour la suite stp ? :/

[invite82ddc94f]

Pour la 4d. J'ai pensais a reprendre l'expression (E) du début on a le droit non ?
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
On barre le début puis il me reste
-> x + 3 - 1 = 0
x+2 = 0
x = -2

C'est bon ?

[Duke Alchemist]

...
4c . J'arrive pas plus loin que sa :/

(E) : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
...

A quoi sert tout le développement effectué ?

N'as-tu pas vu le discriminant ? Tu as bien un polynôme de la forme ax²+bx+c=0, non ?
Eh bien il te suffit de l'appliquer.
Ici, le discriminant est fonction de m (heureusement) et son signe dépend de m justement.
A toi de conclure...

Duke.

EDIT : Quelle est l'expression de (E) quand m=1 ?

[invite427a7819]

Je partirais plutôt dans l'autre sens. Là, tu dois factoriser, une opération qui n'est franchement pas évidente... En partant de h_m(x)=f(x) tu vas te retrouver à développer, ce qui est quand même plus sympa à faire =)

[invite82ddc94f]

Pour la 4d. J'ai pensais a reprendre l'expression (E) du début on a le droit non ?
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
On barre le début puis il me reste
-> x + 3 - 1 = 0
x+2 = 0
x = -2

C'est bon sa ?

Pour l'autre on part de hm(x) = f(x) et on doit trouvé l'équation E ?

[invite51d17075]

Pour la 4d. J'ai pensais a reprendre l'expression (E) du début on a le droit non ?
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
On barre le début puis il me reste
-> x + 3 - 1 = 0
x+2 = 0
x = -2

Pour l'autre on part de hm(x) = f(x) et on doit trouvé l'équation E ?

non c'est faux,il ne reste pas d'x qund m=1.
et je ne comprend pas pourquoi tu fais le 4d avant le 4c.
pour chercher E(m) il suffit d'ecrire Hm(x)=f(x) et on trouve la formule demandée en simplifiant.
ensuite , comme proposé par Duke, o voit qu'il s'agit d'équation du second degré, qu''il faut resoudre.

ps: je ne comprend pas la démarche ( factorisation ) de Elwyr

[invite427a7819]

Hm, mon message ne devait pas être clair...

Il me semblait que Borgos partait de l'équation E à démontrer, et cherchait à remonter par équivalence jusqu'à l'égalité h_m(x) = f(x)... Ce qui est correct mais tordu, dans la mesure où pour ce faire il devait isoler le numérateur de f, factoriser l'autre membre par (x - 1) puis diviser. Je recommandais justement de faire le contraire, écrire h_m(x) = f(x), multiplier par (x-1) et développer le membre de gauche.

Je vous prie de m'excuser pour le manque de clarté.

[invite51d17075]

bonjour,
à la relecture, j'avais mieux compris ton message

[invite82ddc94f]

non c'est faux,il ne reste pas d'x qund m=1.
et je ne comprend pas pourquoi tu fais le 4d avant le 4c.

m=1 donc ce qui fait 2=0 a la fin donc deux solution ? vous avez une idée de l'interpretation graphique sa doit ressemblé a quoi ? :/

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

m=1 donc ce qui fait 2=0 a la fin donc deux solution ?

Pardon ?
Tu trouves deux solutions (en x) à l'équation 2=0 ?...
Tu peux nous les donner ces deux solutions ?...

Duke.

[invite82ddc94f]

(1-m)x²+2(m-1)x+3-m=0
(1-1)x²+2(1-1)x+3-m=0
A la fin sa donne 2=0 non ?
Car tout les x s'annule non ?

[Duke Alchemist]

Re-

J'ai bien compris le résultat et le développement c'est son interprétation qui me laisse sceptique...
2=0 n'admet pas de solution !
Tu ne peux pas me trouver une valeur de x pour laquelle l'égalité 2=0 est vérifiée...
Jusqu'à preuve du contraire 2 n'est pas égal à 0 !

Duke.

[invite82ddc94f]

Je met 0 solution puis pour l'interpretation graphique on doit faire quoi ^^ ?

[Duke Alchemist]

Re-

Si tu reviens en arrière (pour dire de faire le lien avec ce qui a été fait), que représente cette équation (E) ?

 Cliquez pour afficher

C'est l'équation permettant de déterminer les intersections entre la courbe représentative de f et la droite représentative de h_m...

Par conséquent, puisque (E) n'admet pas de solution pour m=1, cela signifie que la droite d'équation h₁=...

 Cliquez pour afficher

(tu peux déterminer l'équation) ne coupe pas la courbe C_f.

Est-ce clair ?

Duke.

[invite82ddc94f]

Je comprend mieu merci de ton aide Duke

[invite51d17075]

juste pour expliquer autremnt le pourquoi pas de solution pour m=1
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m =0
le discriminant vaut ( après simplification ) : -8(1-m)
ce qui ecarte tous les cas ou m<0

les "racines" sont (-b+/-rac(discriminant))/2a
soit
(-2(m-1)+/-rac(8)*rac(1-m))/2(1-m)
((1-m)+/-rac(2)*rac(1-m))/(1-m)
1 +/-rac(2)/rac(1-m)
formes indéterminées dont les limites sont + ou - l'infini, d'ou pas de solution

[invite82ddc94f]

Discriminant et tout je pense pas l'avoir vu ^^

[invite51d17075]

ha bon ?
désolé alors
par contre jai dit une bétise
-8(1-m)>0 suppose m<1

[invite9dd097a0]

Tu le fait comment ton tableau de signe a la question 2a

[invite51d17075]

en quelle classe es-tu ?

[invite9dd097a0]

Je suis en premier s

[invite9dd097a0]

comment tu fait pour faire le discriminant de l'equation (E) j'suis bloqué a b²-4ac j'arrive pas a devellepoer ske sa me donne

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

On parle bien de l'équation
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m =0 ?

Si c'est ça on a

 Cliquez pour afficher

Duke.

[invite441717d4]

Bonjour.

J'ai le même exercice. Jusqu'a la d), j'y était très bien arrivé.
Mais je coince à la e), dont l'intitulé est : On suppose m≠1, déterminez alors le nombre de solution de cette équation selon les valeurs de m.

On a vu que Δ = 8m-8.

Ainsi, si Δ < 0, il n'y a pas de solution, c'est à dire lorsque x < 1

Si Δ = 0, il y 1 solution : -b / 2a c'est à dire -2(m-1) / 2(1-m), ce qui donne : 1, car 2a ≠ 0, mais m≠1, donc pas de solutions (Si?)

Enfin Δ > 0, il y 2 solution : -b -√Δ / 2a & -b + √Δ.
C'est à dire -2(m-1) + √Δ / 2(1-m), ce qui donne : ?
et -2(m-1) - √Δ / 2(1-m), ce qui donne : ?


Voila ce que je n'arrive pas a faire, merci de vos réponses, et merci de me dire si mon raisonnement et les réponses que je fourni sont justes.

[invite441717d4]

En faite, je me rend compte en relisant que -2(m-1) = 2(1-m) = -2m + 2.

Au final il y a en tout 2 solutions : + √Δ & - √Δ.

C'est ça ? Et est-ce que : si Δ = 0, il y 1 solution : -b / 2a c'est à dire -2(m-1) / 2(1-m), ce qui donne : 1, mais m≠1, donc pas de solutions

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

d. m=1 équivaut à Δ=0 et tu aboutis à une unique solution qui ne peut pas être solution (puisque 2 ne vaut pas 0)

e. m≠1 : deux cas :
* m<1 soit Δ<0 donc pas de solutions
* m>1 soit Δ>0 donc, à priori, deux solutions

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qui, après simplification, deviennent, sauf erreur de ma part...
et

qui sont bien définie pour m>1.

Duke.