Suite Géométrique

[invite532146ab]

Bonjour voila je bloque sur un exo avec les suites géométriques, voici l'énoncé si quelqu'un pourrai me donner des conseils pour m'aider.

Soit (Un)n appartient à N la suite définie par U0=1 et U1=2 et pour tout N appartenant à N, la relation de récurrence:

Un+2 = (3/2)Un+1 - (1/2)Un

1) Soit (Vn) la suite définie pour tout n appartenant à N par:

Vn+1=Un+1 - Un

Montrer que Vn est une suite géométrique.

2) Calculer Vn en fonction de n

3) En déduire Un en fonction de n

4) Calculer Limite de Un lorsque Un -> + infini

Merci, mon problème c'est que pour la première question je sais faire quand j'ai Vn mais avec Vn+1
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[invite532146ab]

un+1 = un x q donc ( un+1 / un ) constant mais quand on à pas Un comment faire ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

1. Attention, on demande de montrer que V_n (et non U_n) est une suite géométrique.
Commence par exprimer V_n+1 en fonction de U_n et U_n-1 et tu en déduis V_n en fonction de U_n+1 et U_n.
Une "magie" s'opérera dès lors

2. Tu utilises la propriété que tu as énoncé avec le résultat obtenu au 1.

Le reste en découlera... normalement

Duke.

[invite532146ab]

Salut Duke merci de m'avoir aiguiller donc pour la 1ere question j'ai fait

Vn+1 = Un+1 - Un
Vn = (3/2)Un+1 - (1/2)Un - Un
Vn = (3/2) Un+1 - (3/2) Un
Vn = (3/2) (Un+1 - Un)

Le facteur c'est (3/2) donc c'est une suite géométrique ! non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Bonjour,

En effet on a bien une suite géométrique de raison 3/2, mais j'ai un peu de mal à suivre ton raisonnement... Je ne vois pas comment tu fais apparaître Vn.

Personnellement j'aurais eu tendance à écrire V_n+2 en fonction de V_n+1 pour voir apparaître le facteur 3/2.

Bon courage.

[invite532146ab]

Par contre je comprends pas comment en déduire Un en fonction de n ca serai pas Un+2 - Un+1 ?

[invite532146ab]

En passant, je me suis trompé pour la première question j'ai fait Un+2 - Un il fallait plutot faire Un+1 - Un

Donc (3/2)Un - (1/2)Un-1 -Un = [(3/2) - 1 ] Un - (1/2)Un = (1/2)(Un - Un-1)

Le facteur est (1/2)

[ansset]

oui , c'est ça.
la 2) est facile
pour la 3) tu devrais retrouver une somme type bien connue.

[invite532146ab]

2) Vn = (1/2)^(n-1)

3) ??

[invite532146ab]

3) U_n = U_n-1 + 2(1/2)^n-1

[ansset]

d'ou vient le 2 !

U(n)=U(n-1)+(1/2)^(n-1) mais aussi
U(n-1)=U(n-2)+(1/2)^(n-2) donc

U(n)=U(n-2)+(1/2)^(n-1)+(1/2)^(n-2) etc ......
jusqu'a obtenir
U(n)=U(0)+somme(k de 0 à n-1)(?)

[invite532146ab]

Bah
Vn = (1/2)(U_n - U_n-1)
donc
U_n = U_n-1 + 2V_n

On remplace le V_n,

U_n = U_n-1 + 2(1/2)^n-1

[invite532146ab]

Je comprends pas

[ansset]

Bah
Vn = (1/2)(U_n - U_n-1)

depuis quand le 1/2 ce n'est ps l'énoncé du premier post ?????

[invite532146ab]

ici #7 non ?

[ansset]

Bah
Vn = (1/2)(U_n - U_n-1)
donc
U_n = U_n-1 + 2V_n

On remplace le V_n,

U_n = U_n-1 + 2(1/2)^n-1

tu confonds V(n) avec V(n-1)
V(n)=U(n)-U(n-1)
V(n-1)=U(n-1)-U(n-2)
or V(n)=1/2 V(n-1)=(1/2)(U(n-1)-U(n-2))
mais ce n'est pas ce que tu a ecris ,
relis mon mess #11

[invite532146ab]

Bon je résume dite moi si c'est bien ca,

1) Raison 1/2
2) Vn= (1/2)^n-1
3) Un = 2(1-(1/2)^n-1) ?

[ansset]

non ce n'est pas ça pour U(n)
je trouve "presque" la même chose mais sans le 2 ( encore une fois )
et tu n'expliques pas comment tu trouves ton U(n) !
car il faut calculer la suite (1/2)^(n-1) + (1/2)^(n-2) + (1/2)^(n-3) + (1/2)^(n-4) + ......

[Duke Alchemist]

Re-

... U_n = U_n-1 + (1/2)^n-1

Sans le "2".

Ensuite, il suffit de suivre la proposition d'ansset rappelée ci-dessous :

U(n)=U(n-1)+(1/2)^(n-1) mais aussi
U(n-1)=U(n-2)+(1/2)^(n-2) donc

U(n)=U(n-2)+(1/2)^(n-1)+(1/2)^(n-2) etc ......
jusqu'a obtenir
U(n)=U(0)+somme(k de 0 à n-1)(?)

Vois-tu comment faire apparaître cette expression ? (Je précise qu'il peut être utile de faire apparaître la différence U₁-U₀ à la suite de la liste d'ansset).

Duke.

[ansset]

(Je précise qu'il peut être utile de faire apparaître la différence U₁-U₀ à la suite de la liste d'ansset).
.

bonjour Duke,
tu ne trouve pas la même solution ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Comme je n'ai pas été clair la dernière fois (), je vais (tenter de) rectifier ici.

1. V_n est bien une S.G. de raison 1/2

2. L'expression de V_n se déduit de la nature de la suite.
On trouve : car

3. L'expression de U_n s'établit bien en effectuant la somme des termes V_n.
On trouve :

 Cliquez pour afficher

...

________________
(en faisant la somme membre à membre)


d'où le résultat proposé après remaniement...

Une remarque pour voir si la réponse est bonne est de vérifier que les premiers termes correspondent bien à ceux donnés dans l'énoncé.

4. La limite est évidente sous la forme proposée au 3.

 Cliquez pour afficher

On est bien d'accord n'est-ce pas ?

Duke.

EDIT : Je viens de me rendre compte que, lors de mon précédent message, j'avais oublié de visionner la page 2 avant de répondre...

[invite11e4ccc2]

bonjour,
V1= 1
Vn suite géo. de raison 2/3
Vn+1 = 2/3 Vn

[Duke Alchemist]

Bonjour et bienvenue à toi.

bonjour,
V1= 1

OK

Vn suite géo. de raison 2/3
Vn+1 = 2/3 Vn

Tu nous expliques, STP ?

Duke.

[ansset]

on est d'accord Duke sur le résultat !
en plus de mon coté j'ai fait un erreur d'inatention
A biEntot

[pallas]

les formules pour une suite géométrique v sont
le terme v(n) = v(k) fois raison exposant ( n-k) et
s(n) = v(1)+v(2)+.... +v(n) = premier terme ( 1- raison exposant (nombre de termes ) ) le tout sur (1 - raison ) si la raison ext differente de 1
Ici la premiere formule te donnes la réponse à la première question et pour la seconde fais s(n) et constates !!
formules à connaître

[invite11e4ccc2]

si raison =1 alors V(n) est la suite constante V(n)=1 qqe soit n

[ansset]

la raison est (1/2) .

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je pense qu'ommar ajoutait une précision concernant la remarque faite par pallas.

Duke.