[T ES] Fonction, dérivée

[invite5f5aa970]

Bonjour tout le monde, j'ai un dm à rendre pour la rentrée seulement voilà je ne comprend rien (j'ai lâchée les maths depuis la 2nde...) je suis complétement larguée et j'ai l'impression qu'il manque des informations sur cet énoncé, explications :

(énoncé) soit f la fonction définie sur ] -1 ; + l'infinie[ par f(x) = -x²+4x+3 / x+1 et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2cm pour l'axe des abscisses et 2cm pour l'axe des ordonnées).

1) Démontrer que f'(x) = (x²-2x+1) / (x+1)² ==> aucun problème ça je l'ai fait.
Étudier son signe. ==> je suppose qu'il faut faire un tableau de signe mais je n'y arrive pas, donc je bloque déjà ici.
Dresser le tableau de variation complet de f. ==> je comprend pas pourquoi on parlait de f' alors que là on nous demande f.

Et c'est là que je comprend vraiment pas l'exercice, je n'ai aucun graphique avec cet exercice pourtant on me demande :
2) Déterminer les équations de la tangente à la courbe C :
(T1) au point A, d’abscisse 0
(T2) au point B, d abscisse 3
==> je ne sais pas le faire mais je suppose qu on devrait avoir un graphique

3) Démontrer que l'équation f(x)=2 admet une unique solution, notée alpha, dans ] 1;3[. ==> ça je suppose qu'on remplace x par 2 et qu on trouve (pas encore essayé)
Donner la valeur approchée de alpha par excès à 10^-2 près.

! C'est la le plus marrant avec mon histoire de graphique parce que comme je l'ai dit j'en n'ai pas pourtant :
4) Tracer, avec soin, la courbe C et les tangentes trouvées à la question 3. Retrouver graphiquement la valeur de alpha trouvée à la question précédente.

Merci d'avance pour votre aide, et pour l'utilisation à mon escient de votre temps.
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1. Rien de tel qu'une expression factorisée pour en étudier le signe et ça tombe bien l'expression de f'(x) est factorisable.
Ne reconnais-tu pas un carré bien connu au numérateur ?
Dans le tableau de signe de f'(x), tu dois faire apparaître les différents facteurs et étudier le signe de chacun d'eux.
Une fois le signe de la dérivée f'(x) déterminé sur l'intervalle d'étude, cela te permet de déterminer le sens de variation de f.

2. Pas besoin de graphique (puisqu'on te demande de dessiner l'ensemble par la suite).
Par contre, il te faut savoir ça

3. C'est une application du théorème des valeurs intermédiaires.
f est continue et strictement ...(croissante ou décroissante à toi de le justifier à l'aide du tableau de variation établi au 1.)... sur l'intervalle [1;3] (cet intervalle n'est pas fermé plutôt ?)
Calcule f(1) et f(3). La valeur 0 appartient à [f(1);f(3)] donc ...
Pour la valeur approchée, il faut t'aider de la calculatrice qui est un bon outil pour ce genre d'exercice...

4. Là encore, la calculatrice te permet de vérifier tout ce que tu as dû établir auparavant (notamment les tangentes).
Tu peux utiliser la fonction tableur de la calculatrice afin d'avoir des valeurs à placer.

Cordialement,
Duke.

[invite5f5aa970]

je te remercie tu m'aides beaucoup il y a beaucoup de choses dans le lien merci je me demandais si tu pouvais vérifier si c 'est juste ou si au moins ce que j'ai écrit semble possible http://imageshack.us/photo/my-images/689/mathnt.jpg/ . merci d 'avance

f est continue et strictement ...(croissante ou décroissante à toi de le justifier à l'aide du tableau de variation établi au 1.)... sur l'intervalle [1;3] (cet intervalle n'est pas fermé plutôt ?)

non je ne me suis pas trompée c'est bien ]1;3[ sur mon énoncé

[Duke Alchemist]

Bonjour.

La méthode reste applicable en utilisant les intervalles ouverts en t'assurant que ni f(1) ni f(3) sont nuls.

Duke.

EDIT : pour ta réponse (que j'ai vu un peu tardivement ), comment trouves-tu les valeurs annulatrices du numérateur ?...
Comme je te l'avais indiqué, c'est un carré parfait : x²-2x+1 = (x-1)² donc 1 est la valeur annulatrice de ton numérateur...
Revois le tableau tranquillement...
Re-EDIT : Autre point, si la dérivée est positive (négative) alors la fonction est (dé)croissante !...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f5aa970]

comment trouves-tu les valeurs annulatrices du numérateur ?...

j'ai utilisé delta

Comme je te l'avais indiqué, c'est un carré parfait : x²-2x+1 = (x-1)² donc 1 est la valeur annulatrice de ton numérateur...

ah donc en faite ca donne ca : http://imageshack.us/photo/my-images/28/mathjpeg.jpg/

Autre point, si la dérivée est positive (négative) alors la fonction est (dé)croissante !...

hmm oui je sais pas pourquoi j'ai fait le contraire

[Duke Alchemist]

Au temps pour moi, j'étais resté focalisé sur ta première dérivée qui dans ton premier message est fausse...
Avec un "-" devant le x² et ça change tout !...

Du coup, les valeurs annulatrices du numérateur sont et comme tu l'avais indiqué (après simplification) dans ton premier tableau

Mais deux choses encore à rectifier dans le tableau :
- ton intervalle d'étude est
- un carré est toujours positif (dans les réels) donc dans la deuxième ligne du tableau c'est + et +

Duke.

[Duke Alchemist]

Et f(0) ne vaut pas 0 !

[invite5f5aa970]

ah mince oui il manque un - je suis désolée

O.o tu peux m'expliquer comment tu trouves ces valeurs

Mais deux choses encore à rectifier dans le tableau

c est bon j'ai compris lol après 10 fois que tu me le dis, désolée ....
mais alors de tes deux valeurs je met que la deuxième dans mon tableau ?
par contre pour le tableau de variations je dois mettre dans ]-\infty} ; +\infty}[ c est ca ?

Et f(0) ne vaut pas 0 !

j 'ai pas écrit ca

[Duke Alchemist]

O.o tu peux m'expliquer comment tu trouves ces valeurs

Ben ce sont celles que tu as trouvées dans ton premier tableau mais que tu n'avais pas simplifié au maximum.

 Cliquez pour afficher

mais alors de tes deux valeurs je met que la deuxième dans mon tableau ?

Seule la valeur qui appartient au domaine d'étude doit en effet être indiquée et...

par contre pour le tableau de variations je dois mettre dans ]-\infty} ; +\infty}[ c est ca ?

... dans ton tableau, il ne faut considérer que les valeurs de : il démarre à -1 !

Courage, on va en venir à bout !

Duke.

EDIT :

j 'ai pas écrit ca

Si, dans ton deuxième tableau mais cela n'a plus d'importance maintenant

[invite5f5aa970]

Courage, on va en venir à bout !

t es vraiment optimiste toi lol

comme ça ça va ou je peux aller acheter une corde ? http://imageshack.us/photo/my-images/714/mathqd.jpg/

[Duke Alchemist]

Rhhaaa... On y est presque
Pas besoin de corde malgré tout

Pour le signe du numérateur, c'est l'inverse : en considérant les deux racines, tu sais que le polynôme ax²+bx+c est du signe de -a entre les racines , c'est-à-dire ici +.
Donc le sens de variation est inversé.

Pour vérifier, il existe un outil extraordinaire qui s'appelle la calculatrice ! Le graphique et zou, on vérifie

EDIT : Dans les variations de f : ? et en -1, tu dois déterminer la limite de f et non une double-barre

[invite5f5aa970]

ouff alors j ai juste à inversé tous les signes du numérateur avec les changements que ca entraine et c est juste ?

[Duke Alchemist]

oui ainsi que les indications dans l'EDIT du message précédent... et ce devrait être bon

N'hésite pas à vérifier avec la calculatrice qui sera ton unique recours lors des DS ou du BAC

Cordialement,
Duke.

[invite5f5aa970]

je dois calculer f(-1) c est ca ? et pour V2-1 alors ?

parce que f(-1) c est impossible -1 c est une valeur interdite comme mon dénominateur c est x+1

[Duke Alchemist]

Tu peux indiquer la valeur de dans le tableau (à l'aide de la calculatrice) mais pas celle de f(-1) puisque -1 est une valeur interdite (voir domaine de définition) mais déterminer sa limite en -1⁺ (soit x -> -1 avec x>-1)

[invite5f5aa970]

pour la valeur j ai trouvé environ 11.82 , mais pour -1 je laisse ma double barre dans le tableau?

la limite je suis très limitée en math en connaissance comme j'ai décrochée depuis la seconde, je sais qu on a vu ca en 1ere mais je sais pas du tout comment ca fonctionne...
je sais qu on peut trouver la limite grace à sa calculatrice mais mon prof a été tellement vite quand il l'a dit que je me suis arrêtée au dessin de la courbe en faite :s