Révisions de probas, difficiles...

[invite9a9ff281]

Bonjour, je recommence les probas.. un des chapitres où j'ai beaucoup de difficultés... :/
Voici mon énoncé :

Un élève a investi dans n ouvrages de mathématiques, au début de l'année ses livres sont rangés dans l'ordre alphabétique, à la fin de l'année ses livres ont un rangement aléatoire.
On note A(n,k) l'événement "exactement k livres sur les n sont à la même place en début et en fin d'année"

1. Calculer, dans les cas n=2, les probabilités P(A(2,0)), P(A(2,1)), P(A(2,2).
C'est la première question du sujet et je bloque, du coup je ne peux pas faire la suite du sujet, j'aurai besoin d'une idée...

J'ai commencé par traduire les événement pour m'aider

P(A(2,0)) : aucun livre sur les 2 à la fin de l'année n'est à la même place.
P(A(2,1)) : 1 livre sur les 2 est à la même place
P(A(2,2)) : Les 2 livres sont restés à la même place...

J'ai essayé de trouver la loi de A, mais je n'ai pas réussi.
Pourriez vous me donner une idée?!

-----

[Tryss]

C'est avant tout un exercice de dénombrement.

a) Combien y a t'il de façons de ranger les livres?
b) Combien de façons y a t'il de ranger les livres pour qu'aucun des 2 ne soit à la même place qu'au début de l'année?
c) Combien de façons y a t'il de ranger les livres pour qu'un seul des 2 soit à la même place ?
d) Combien de façons y a t'il de ranger les livres pour que les deux livres n'aient pas bouger ?

Faire un petit dessin peut aider.

Alors on aura :
P(A(2,0)) = b/a
P(A(2,1)) = c/a
P(A(2,2)) = d/a

Avec bien-sur a = b+c+d

(attention, ici certaines choses sont impossibles, des zéros peuvent donc apparaitre )

[invite9a9ff281]

Merci Tryss pour ton indication

on a alors :
X et Y les deux livres
il y a deux possibilités de rangementX Y et Y X

supposons que le rangement de début d'année soit X Y
*si aucun livre n'est à sa place on a le rangement Y X donc P(A(2,0))=1/2
** un livre sur les deux est à sa place c'est un événement impossible si un livre est bien rangé l'autre aussi donc P(A(2,1))=0
*** les deux livres sont restés à la même place on a donc le rangement initial X Y,un rangement favorable et deux rangements possibles donc P(A(2,2))=1/2

Maintenant si n=3
ça se corse un peu, mais ça fait bien :
Soit XYZ le rangement initial
*P(A(3,0)) : 3livres ayant tous changé de place,
on peut alors avoir comme rangement ZXY, et YZX
on a alors P(A(3,0)) = 2/6 [c'est sur 6, puisqu'il y a 3! possibilité de rangement des livres en tout]

** P(A(3,1)), 1 seul livre a bougé, c'est impossible, si on en bouge un, un autre bouge aussi, P(A(3,1))=0


*** P(A(3,2)), seuls 2 livres ont bougé
On peut avoir les rangements : XZY, ZYX, ou YXZ
P(A(3,2))=3/6

****P(A(3,3))= aucune livre n'a changé de place, P(A(3,3))=1/6

Je ne me trompe pas?

Par contre je n'arrive pas à déterminer pour tout n appartenant à N* P(A(n,n))
Pourriez vous m'aider?...

[Tryss]

C'est bien ça

P(A(n,n)) est plutôt simple à calculer :
1) il n'y a qu'une seule façon de garder les livres à la même place
2) il y a n! façons de ranger n livres

Pour calculer P(A(n,k)) l'idée est la suivante :
1) il y a C(n,n-k) = n!/(k!(n-k)!) (combinaisons de n-k parmi n) façons de choisir n-k livres à déplacer
2) il y a ensuite (n-k)!-1 façons de les ranger (on retire 1 car sinon ça pourrait être le même ordre)
3) il y a n! façons de ranger n livres

D'où P(A(n,k)) = ((n-k)!-1)/((n-k)!k!)

Par contre cette formule n'est pas valable pour k=n (on a un problème pour ranger 0 livres ^^)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a9ff281]

Pour le P(A(n,n)) j'avais réussi à trouver entre temps, mais merci de l'aide
Bon j'ai maintenant réussi à montrer que P(A(n,n-1))=0
Et à déterminer P(A(n,n-2))=1/(2(n-2)!)

Maintenant pour la suite du problème, on note B_i l'événement "le livre i est resté à sa place"
Je dois en déduire A(n,0) en fonction de B_i
Et en déduire que pour tout n appartenant à N*, P(A(n,0))=somme(-1)^k/k!

Je bloque un peu.
J'essaye de le faire...