Maht spé

[invite302e61f3]

Bonjour, je suis blocké sur mon dm de spé math.

J'ai réussi à démontrer que ( 2011 )^2011 congrus 4 modulo 9

Ensuite le problème pose A = ( 2 011 )^2011 et on désigne par:
B est la somme des chiffres de A;
C est la somme des chiffres de B;
D est la somme des chiffres de C

a) démontrer que A = D modulo 9
b) Sachant que 2011 inférieur à 10 000, démontrer que A s'écrit en système décimal avec au plus 8044 chiffres. En déduire que B inférieur ou égal à 72376
c) Démontrer que C inférieur ou égal à 45
d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e) Démontrer que D = 4

En fait je ne comprend pas le B somme des chiffres de A, et les conséquences .. Help ? :s
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[invite1d45958d]

Eh ben je crois que c'est juste que tu dois faire les sommes de tous les chiffres du nombre A.
Par exemple si A = 58964526, tu as B = 5+8+9+6+4+5+2+6 !
Tu obtiens un nouveau nombre pour B, et en faisant la même chose, tu trouves C, puis D !
Voilà bon courage

[invite302e61f3]

Ah d'accord. Je comprend mieux mais par exemple, pour calculer B, je dois faire B= (2+0+1+1)^(2+0+1+1)=16 ?

[invite1d45958d]

Ah non, il faudrait calculer 2011^2011 et ensuite faire la somme des chiffres. Mais effectivement si on tape ça à la calculatrice, c'est un nombre trop grand pour pouvoir être calculé...
Du coup il faut surement utiliser le fait que c'est congru à 4 modulo 9...
Mais là je t'avoue que je n'ai pas vraiment d'idée... Je reviendrais poster si jamais j'en ai une
Bon courage en tout cas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite302e61f3]

D'accord merci quand même. Je cherche mais bon.. Aucune idée.. :s

[invite4492c379]

Hello,

tu as une idée (peut-être dans ton cours ...) sur ce que signifie un nombre modulo 9 ? (preuve par neuf t'évoque-t-il quelquechose ?)

[invite302e61f3]

euu que le nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 ? Cela nous ramène aux critères de divisibilité par 9 ?

La preuve par 9 m'évoque les critères de divisibilité; n congrus 0 modulo 9 équivaut à dire que la somme de ses chiffres est multiple de 9.

C'est cà ?

[invite1d45958d]

Coucou !
Alors j'ai un peu réfléchi, et en fait comme 2011^2011 = 4 [9]
Et ben tu as A = 2011^2011 = 9a + 4 (si je me trompe pas xD)
Et du coup, B = 4 + S(9a) où S sera la somme des chiffres du nombre "9a" et c'est là que tu remarques que S(9a) = 9. Parce que :
pour a=1 : on a S(9a) = 9
pour a=2 : on a S(9a) = S(18) = 1+8 = 9
pour a=3 : = S(27) = 2+7= 9
...
pour a =10, 11, etc S(9a)=9 !
(ça doit pouvoir se prouver par récurrence)

Et du coup, B = 4 + 9 = 13.
Et C = 1 + 3 = 4
Et D = 4

Voilà ! Je sais pas du tout si c'est bon, d'autres personnes pourront venir me rectifier sinon ^^
Bonne soirée

Edit : Vu les questions posées, ça doit pas être ce que j'ai dit, mais ça t'aidera peut être quand même !

[invite51d17075]

Et du coup, B = 4 + 9 = 13.
Et C = 1 + 3 = 4
Et D = 4

Voilà ! Je sais pas du tout si c'est bon, d'autres personnes pourront venir me rectifier sinon ^^
Bonne soirée
!

avant c'était bon, mais là c'est tout faux. ( B diff de 4+9 ) mais B = 4 mod(9)
en fait, curieusemnt,il me semble plus facile de demontrer que D = 4 mod(9)
que A=D mod(9)
sauf à montrer que D<15
qui fait l'objt des questons suivantes !?

[invite302e61f3]

En fait il faut montrer par récurrence qu'a chaque fois on trouve que;
A = 4 modulo 9
B = 4 modulo 9
C = 4 modulo 9
D = 4 modulo 9
Ainsi A = D modulo 9

Après je ne comprend pas très bien la suite de l'exercice.. Comment savoir par exemple que A s'écrit avec plus de 8 044 chiffres, que B strictement inférieur ou égal à 72 376? :0

[invite302e61f3]

Help? Cà devient urgent. :s

[invite8d4af10e]

Bonjour
un petit UP pour Jorgy

[invite51d17075]

b) Sachant que 2011 inférieur à 10 000, démontrer que A s'écrit en système décimal avec au plus 8044 chiffres. En déduire que B inférieur ou égal à 72376
c) Démontrer que C inférieur ou égal à 45
d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e) Démontrer que D = 4

bonjour,
comme 2011<10000 alors
A<(10000)^(2011)
donc log(base 10)(A)< log(10000^2011)
log(A)<2011*4 = 8044
donc
A < 10^8044 ce qui est le maximun d'un nombre avec 8044 chiffres ( chaque chiffre pouvant prendre un nb entre 0 et 9 )

[invite302e61f3]

Qu'est ce que log ? On en a parlé une fois en cours mais on ne l'a jamais écrite.. Que veut dire log ( base 10 ) ?

Par contre j'ai vu "base 10"..

[invite51d17075]

en général on ecrit log pour un logarithme en base 10
et ln pour un logarithme népérien.
log(10)=1, log(100)=2 etc et comme tous les log
log(a^b)=b*log(a)
je suppose que tu as vu ça !

[invite302e61f3]

Euu non. Mais j'ai compris votre calcul et les formules..

Pour B, B est la somme des chiffres de A, et on sait que B congru 4 modulo 9.

Comment on peut en déduire que B inférieur ou égal à 72 376 ? .. On a jamais fait cà alors franchement .. !! Je cherche mais franchement..

[invite302e61f3]

En fait on a fait un chapitre: " la base de 10" mais c'est plus les critères de divisibilités.

Et on vient de commencer les nombres premiers.

On a jamais parlé de log ou de choses comme cà..

[invite4492c379]

Hello,

Combien de chiffres a un nombre n tel que 1000<n<10000 ?
Tu as vu la notation 10⁴ pour 10000 ?
Tu es en quelle classe ?

[invite51d17075]

bizarre ça,
alors il faut l'ecrire autrement sans utiliser le mot log.

pour B
A contient au maximum 8044 chiffres et
B est la somme de ces chiffres.
chaque chiffre a un maximum de 9 donc B<9*8044=72376

[invite51d17075]

suis la démarche de photon qui t'évitera le log
2011^2011 < (10000)^2011 = (10^4)^2011
tu dois pouvoir retomber sur tes pattes !

[invite302e61f3]

Je suis en Terminal S.

Bref' j'ai enfin compris la question a, je retombe bien sur le même résultat. Merci beaucoup.

D'accord pour la b, j'ai compris.

Pour la question c, j'aurais fait la somme des chiffres de B pour trouver C sauf que je trouve 25.. De quoi dois-je partir?

[invite51d17075]

c'est le même raisonnement
B<72376<100000 = 10^5
ce qui correspond à 10 choix possible( 1 par chiffre) sur les 5 chiffres
chaque chiffre allant de 0 à 9 , la somme maximale vaut 9*5=45

[invite302e61f3]

Ah d'accord!

Pour la question d,
C<45<10^2
D'ou D<2*9<18

Il a un majorant en 1?

D'ou D=4 car 2011 congru 4 modulo 9

[invite302e61f3]

Quelqu'un pourrait-il m'aider à finir mon exercice svp ?

[invite51d17075]

d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e) Démontrer que D = 4

on demande un majorant <15 donc 18 n'est pas un bon candidat.
mais on sait que C comme D = 4 mod(9)
C <= 45 mais 45 = 0 mod(9)
le plus grand nombre =4 mod(9 ) et inf à 45 est 40
donc C<=40
plus généralement les C possibles sont
4,13,22,31,40.
dans tous les cas D=4 ( somme des chiffres de C )

[invite302e61f3]

Ah.. Je comprend mieux maintenant. Merci beaucoup. Cà parait évident quand on connait la solution..